In einer laminaren Strömung folgt jedes Teilchen einer Strömungslinie. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist dabei tangential zur Richtung der Strömungslinie

1

13 Flüssigkeitsdynamik

2

Strömungstypen

laminar turbulent

3

Laminare Strömung

In einer laminaren Strömung folgt jedes Teilchen einer Strömungslinie. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist dabei tangential zur Richtung der Strömungslinie

Zigarettenrauch

Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung

Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit

Keine Wechselwirkung der Teilchen inerhalb der Flüssigkeit Geschwindigkeit an jedem Punkt in der Flüssigkeit ist konstant

Flüssigkeit ist inkompressibel

Flüssigkeit hat an keinem Punkt ein resultierenden Drehimpuls

4

Kontinuitätsgleichung

Definition Flußrate

t m

fl

Δ

= Δ φ

1 1

V

1

= A Δ l

Geschwindigkeit der Flüssigkeit am Ort 1

2 2

V

2

= A Δ l

Geschwindigkeit der Flüssigkeit am Ort 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1

A v

t A l t

V t

m ρ ρ ₌ ρ

Δ

= Δ Δ

= Δ Δ Δ

2 2 2 2 2 2 2 2

2

A v

t A l t

V t

m ρ ρ ₌ ρ

Δ

= Δ Δ

= Δ Δ Δ

2 2 2 1 1 1

2 1

v

v A

A

t m t

m

ρ

ρ =

⇓ Δ

= Δ Δ Δ

Kontinuitätsgleichung

keine Flüssigkeit geht verloren

const A A

const

fl

=

=

⇓

=

=

φ ρ ρ

2 2 1 1

2 1

v v

Flüssigkeit inkompressibel

Bemerkung

Bei großem Querschnitt ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit klein oder

Wenn Querschnitt gering, dann ist Geschwindigkeit der Flüssigkeit groß

SI Einheit m³/s

Vergleich des Massenflusses an zwei Teilstücken einer der Röhre

Wichtig: kein Tropfen der Flüssigkeit geht verloren. Also muß sich etwas ändern, wenn man die Bedingungen

modifiziert!

spezielle Bedingung Flüssigkeit

KIndergeburtstag

1 2

5

Bernouilli-Gleichung

Annahme einer idealen Flüssigkeit

Flüssigkeit inkompressibel

laminare Strömung geringe Viskosität (Zähigkeit)

const P

P P

= +

+

⇓

+ +

= +

+

gy 2 v²

1

gy 2 v

gy 1 2 v

1

1

2 2

2 2

1 2

1 1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

Bernoulligleichung

Typ Erhaltungssatz

Test 1 statische Flüssigkeit

(

1 2

)

1 2

2 1

y g

m/s 0.0 v

v

y P

P = + −

⇓

=

=

ρ

Test 2 kein Höhenunterschied

2 2 2

2 1 1

2 1

2 v v 1

2

1 ρ = + ρ

+

⇓

=

P P

y y

Daniel Bernouilli 1700-1782

Bei hohem Druck reduziert sich die Fliessgeschwindigkeit

Schweredruck

6

Bernouilligleichung

Behauptung

Hoher Druck bedeutet hohe Geschwindigkeit der Flüssigkeit

Reduzierung der Fließgeschwindigkeit

Wenn das Gegenteil der Fall wäre

hoch?

v

hoch

1

P

1

v niedrig

niedrig

1

P

1

Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung

höherer Druck

höherer Druck niedriger Druck

Auswirkung von Bernoulli

Warum verengt sich der Querschnitt ?

2 2 1

1

v A v

A =

7

Beweis der Bernoulligleichung

Ergebnis aus der Mechanik

Änderung der kinetischen Energie entspricht der geleisteten Arbeit am System

KE W = Δ

(

1²

)

2 2

2 1 2

2

v 2 v

1

2 v v 1 2 1

− Δ

= Δ

↓

Δ

− Δ

= Δ

Δ

= Δ

V KE

m m

KE

V m

ρ

ρ

Änderung der kinetischen Energie

Geleistete Arbeit im Gravitationfeld

) (

) (

1 2

1 2

y y Vg W

y y mg W

g

V m g

− Δ

−

=

↓

− Δ

−

=

Δ

= Δ

ρ

ρ

Geleistete Arbeit am System

allgemein

V p W

l pA l

F W

P

V l A P

Δ

−

=

↓

Δ

= Δ

=

Δ

= Δ

Flüssigkeit

in den Bereich y₁drücken

Flüssigkeit

gegen den Druck P₂bewegen

V p W

_p,1

=

₁

Δ

V p W

_p,2

= −

₂

Δ

( ^{p p} ) ^V

W

_P

= −

₂

−

₁

Δ

( ) ^{( )}

2 2

2 2 1

1 2

1

1 2 1

2 2

1 2 2

2 v v 1

2 1

) (

v 2 v

1

p gy

p gy

p p

V y

y Vg V

W W

KE

_{g P}

+ +

= + +

− Δ

−

− Δ

−

=

− Δ

+

= Δ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

qed

neu sortieren nach Indizes

8

Venturi Röhre

Messung der Strömingsgeschwindigkeit inkompressibler Flüssigkeiten

2 2 2

2 1

1

v

2 v 1

2

1 ρ = + ρ

+ p

p

1 2 2 1

2 2 1

1

v v

v v

A A

A A

=

↓

Bernouilligleichung Kontinuitätsgleichung

=

( )

( )

( )

(

2²

)

2 1

2 1 2

1

2 2 2

1

2 1 1

2

2 2 2

2 2 1 2 1

v 2 v 2

2 v v 1

2 1

A A

p A p

A A

p A p

A p p A

−

= −

↓

−

= −

+

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

ρ ρ

ρ ρ

Druck in den engen Stellen der Röhre reduziert Flüssigkeit steigt nach oben

2 1

Bernouilli 2

1 gleichung

ts Kontinuitä 1

2

A v v p p

A < → > → >

Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit

am Messpunkt 2

Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit

am Messpunkt 1

vgl Barometer kein Höhenunterschied Δy=0

einsetzen in Bernouilli

notwendige Messung Bestimmung des Druckunterschieds

9

Anwendungen der Bernoulli-Gleichung

Aerodynamischer Auftrieb

Geschwindigkeit des Flugzeug Fläche und Form der Tragfläche

Anstellwinkel der Tragfläche

Luftwiderstand

Turbulenz

10

Druckmessung in bewegten Flüssigkeiten

Gesamtdruck = statischer plus dynamischer Druck

Pivotrohr

Gesamtdruck statischer Druck

Prandtlrohr

dynamischer Druck

aus Differenz von Gesamt- und statischem Druck

dyn stat

res P P

P = +

potentelle Energie

Staudruck statischer Druck

Gesamtdruck

v = 0 . 0 m/s

v

2

2 1 ρ +

=

_stat

res

P

P

kinetische Energie

11

Toricellis Theorem

Ausströmgeschwindigkeit aus einem Reservoir

gh gh gh

oben unten

h h h

unten unten

oben oben

unten oben

2 v

v

2 v v 1

2 1

2 2

2 2

+

=

↓

+

= +

−

=

Toricellis Theorem Atmosphärendruck

an der Oberfläche des Sees

Atmosphärendruck beim Ausströmen

unten unten

oben oben

unten unten

unten oben

oben oben

gh gh

p gh

p gh

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

+

= +

↓

+ +

= +

+

2 2

2 2

2 v v 1

2 1

2 v v 1

2 1

leichung Bernoullig

Energieerhaltung

Ergebnis identisch zu freiem Fall eines Körpers Annahme

reibungslose Bewegung

mgh m v ² = 2

1

h

12

Leistung

Energietransfer pro Zeiteinheit

Ergebnis aus Dynamik

[ ] ⁼ _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

Δ

= Δ

Zeit Energie P

t P W

const gh

P + ρ v

²

+ ρ = 2

Start mit Gleichung von Bernoulli 1

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

=

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⋅ ⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

s Nm

s m³ m³ Nm Zeit

Volumen m³

Nm

Energie pro Volumen multipliziert mit Volumen pro Zeit

Dimensionsanalyse: resultierende Einheit für jeden Term identisch!

Energie pro Volumen

[ ] ⁼ _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^{⎤ =} _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^{⎤ =} _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

m³ Nm m

m m²

N m²

v N 2 ] 1

[ P ρ

²

ρ gh

Φ +

Φ +

Φ

=

⎟ Φ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ P + ρ

²

+ ρ gh P ρ v

²

ρ gh 2

v 1 2 1

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

= Δ Φ

⇒ t

Flussrate V

Φ

P ρ gh Φ

Φ v

2

2 1 ρ

Energie pro Zeit

Änderung der Druckverhältnisse

Änderung der kinetischen Energie

Änderung der potentiellen Energie

Physikalische Bedeutung der Terme

Transfer von Energie an die Flüssigkeit

Erweitern dieser Gleichung mit einem Term, der angibt welche Flüssigkeitsmenge pro Sekunde fließt

13

Rotierender Ball in Medium

Ba

Erstaunliche Beobachtung bei folgendem Experiment

Herunter rollender Ball plumpst ins Wasser Der Ball bewegt sich in

entgegen gesetzter Richtung zur Flugbahn

warum nicht so?

14

Rotierender Ball in Medium

Unterdruck Hohe Geschwindigkeit

Erster Beitrag Strömung ohne Rotation

Zweiter Beitrag Zirkularstrom durch Rotation

Resultierende Kraft wirkt in Richtung des Unterdrucks

Überdruck

Niedrige Geschwindigkeit

15

Rotierender Ball in Medium

Ba

Der Ball rotiert wenn er ins Wasser fällt

Der Bernouillieffekt wirkt auch in einem Medium wie Wasser

Kraftwirkung in Richtung der höheren Strömungsgeschwindigkeit, d.h. des niedrigeren Druckes

Magnus Effekt

Gustav Magnus (1802 - 1870)

16

Bananenflanke

"Manni Bananenflanke, ich Kopf - Tor" (Horst Hrubesch)

Ba

Flugbahn

Seitliche

Kraft dem Ball

verliehener Drall

Ball Ball

Wind Luft

Magnus r

F = πρ v ² ω

Pitcher beim Wurf eines Baseballs

Erfinder der Bananenflanke Manni Kaltz

Kraftbeitrag durch den Magnuseffekt

Magnus

F

Kraftwirkung entspricht etwa dem Gewicht von ei paar Tafel Schokolade optimal Bedingungen bei Flanken über etwa 40 Meter

17

Flettnerboote

mögliche resultierende Kraftwirkung

Windrichtung

Kreuzen gegen den Wind, allerdings nur unter einem geringen Winkel zur

Windrichtung

Motor notwendig

Drehgeschwindigkeit des Zylinders etwa drei bis viermal höher als Windgeschwindigkeit

Effizienz etwa zehnmal so hoch wie ein

vergleichbare starre Flügel bzw. Segel

18

Flettnerboote

Boot kann unter einem geringen Winkel gegen den Wind kreuzen

Flugzeug

Schiffsantrieb

19

The Physics of Baseball

Mechanics all in one

Kinematik Newtonsche Dynamik Impuls

Rotation und Drehmoment Hydrodynamik Schwingungen

(Thema im SS)

20

Das war es für dieses Semester

aber erst im Sommersemester!