Crash Kurs 3.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr Klausur 10.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr

(1)

1

13 Hydrodynamik

Chrysopelea Paradisi

Crash Kurs 3.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr Klausur 10.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr

Hilfsmittel

Taschenrechner, Din A5 Blatt, handbeschrieben

(2)

2

Strömungstypen

laminar turbulent

(3)

3

Ideale Flüssigkeiten

... damit sind auch Gase gemeint

In einer laminaren Strömung folgt jedes Teilchen einer Strömungslinie. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist dabei tangential zur Richtung der Strömungslinie

Zigarettenrauch

Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung

Was sind die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit?

- keine Wechselwirkung der Teilchen innerhalb der Flüssigkeit - Geschwindigkeit an jedem Punkt in der Flüssigkeit ist konstant - Flüssigkeit ist inkompressibel

- an keinem Ort in der Flüssigkeit gibt es einen resultierenden Drehimpuls

(4)

4

Kontinuitätsgleichung

Massenflussrate

t m

m

Δ

= Δ φ

1 1

V

1

= A Δ l

Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 1

2 2

V

2

= A Δ l

Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1

v t A

A l t

V t

m

ρ ρ ρ

φ =

Δ

= Δ Δ

= Δ

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

v t A

A l t

V t

m

ρ ρ ρ

φ =

Δ

= Δ Δ

= Δ

2 2 2 1 1 1

2 2 1 1

v

v A

A

t m t

m

m m

ρ ρ

φ φ

=

⇓ Δ =

= Δ Δ

= Δ

Kontinuitätsgleichung

keine Flüssigkeit geht verloren

Flussrate muss konstant sein!

const A A

const

m

=

⇓

=

φ ρ ρ

2 2 1 1

2 1

v v

Flüssigkeit inkompressibel

Konsequenzen

großer Querschnitt -> niedrige Strömungsgeschwindigkeit geringer Querschnitt -> hohe Strömungsgeschwindigkeit Vergleiche Massenfluss an zwei Teilstücken einer Röhre

Wichtig: kein Tropfen der Flüssigkeit geht verloren. Also muß sich etwas ändern, wenn man die Bedingungen modifiziert!

spezielle Bedingungen für

inkompressibles Medium wie z.B. Flüssigkeit

1 2

Volumen Volumen

alles was pro Zeiteinheit hier herein fließt, kommt hier auch in

derselben Zeit wieder raus

(5)

5

Wasserhahn

1 1

v A

1 2

2 1 2 1 2

2 1 2 2

2 v v

A A

gh A

A

gh

<

←

+

=

+

= Warum verengt sich der Querschnitt des Wasserstahls?

Wassertropfengeschwindigkeit erhöht sich durch freien Fall

Kerzen ausblasen beim Kindergeburtstag

(6)

6

Anzahl der Kapillaren im Körper

Bedingungen in den Kapillaren

Durchmesser 10 μm Fließgeschwindigkeit 600 μm/s

Bedingungen in der Aorta

Durchmesser 2 cm

Fließgeschwindigkeit 30 cm/s 2

Aorta

r

A = π

2 Kap Kap

Kap

n r

A = π

Kontinuitätsgleichung

( )

(

⁶

)

² ⁹

4

2 2 -

2 2

10 7 . 6 m

10 s 5

10 m 6

m s 10

0.30 m

v v

⋅

=

⋅

=

− Kap −

Kap Kap

Aorta Aorta Kap

Kap Kap Kap Aorta

Aorta

Kap Kap Aorta

Aorta

n

r n r

A A

π π

Abschätzung über Anzahl der Kapillaren im Körper

also etwa 10 Billionen

(7)

7

Bernouilli-Gleichung

Annahme einer idealen Flüssigkeit Flüssigkeit inkompressibel

laminare Strömung geringe Viskosität (Zähigkeit)

const p

p p

= +

+

⇓

+ +

= +

+

gy 2 v²

1 gy 2 v

gy 1 2 v

1

2 2

1 2

1 1

ρ ρ

Bernoulligleichung

Erhaltungssatz Test: statische Flüssigkeit

( )

gh p

y p

p

SD

ρ

=

− +

=

⇓

=

2 1 1

2

2 1

y g

m/s 0.0 v

v

Test: kein Höhenunterschied

2 2 2

2 1 1

2 1

2 v v 1

2 1 ρ = + ρ +

⇓

=

P P

const y

y

Daniel Bernouilli 1700-1782

bekannt aus Kap. 12

Schweredruck

Was sagt die Gleichung z.B. aus

Bei hohem Druck reduziert sich die Fliessgeschwindigkeit

Flüssigkeit bewegt sich nicht 1

2 1

1

v gy

2 1 ρ + ρ +

p

2 2

2

v gy

2 1 ρ + ρ +

p

Strömung wird durch drei Beiträge charakterisiert

Druck,

Geschwindigkeit

Höhe

(8)

8

Bernouilligleichung

Wir stellen eine Behauptung auf

Hoher Druck bedeutet hohe Geschwindigkeit der Flüssigkeit

Wenn das Gegenteil der Fall wäre

hoch?

v

hoch

1

p

1

v niedrig

niedrig

1

p

1

Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung

höherer Druck

höhere Strömungsgeschwindigkeit niedriger Druck

Auswirkungen von Bernoulli

2 2 1

1

v A v

A =

2 2 2

2 1 1

2 1 2

1

2 v v 1

2 1

v v

ρ ρ > + +

>

→

>

p p

dann stimmt Bernoulli nicht also

Reduzierung der

Fließgeschwindigkeit

(9)

9

Beweis der Bernoulligleichung

Ergebnis aus der Mechanik

Änderung der kinetischen Energie entspricht der geleisteten Arbeit am System

1

2

KE

KE KE

W = Δ = −

(

1²

)

2 2

2 1 2

2

v 2 v

1 2 v v 1 2 1

− Δ

= Δ

↓

Δ

− Δ

= Δ

Δ

= Δ

V KE

m m

KE

V m

ρ

Änderung der kinetischen Energie

Geleistete Arbeit im Gravitationfeld

) (

1 2

y y Vg W

y y mg W

g

V m g

− Δ

−

=

↓

− Δ

−

=

Δ

= Δ

ρ

Arbeit am System/ System leistet Arbeit

V p W

l pA l

F W

P

V l A P

Δ

=

↓

Δ

= Δ

=

Δ

=

Δ Flüssigkeit in den Bereich y₁drücken (positiv)

Flüssigkeit gegen den Druck P₂bewegen (negativ)

V p W

_p,₁

=

₁

Δ

V p W

_p_,₂

= −

₂

Δ

( ^p ^p ) ^V

W

V p V p W

W W

W

P P

P

Δ

−

=

Δ + Δ

−

=

+

=

1 2

1 , 2

,

( ) ( )

2 2

2 2 1

1 2

1

1 2 1

2 2

1 2 2

2 v v 1

2 1

) (

v 2 v

1 p gy

p gy

p p

V y

y Vg V

W W

KE

_g _P

+ +

= + +

− Δ

−

− Δ

−

=

− Δ

+

= Δ

ρ ρ

qed

neu sortieren nach Indizes

ersetze Masse durch Dichte und Volumen

das ist der zweite Terme der Bernoulligleichung

dritter Term der Bernoulligleichung

Arbeit, die die Flüssigkeit leisten muss Arbeit, die an der Flüssigkeit geleistet wird

allgemein das ist der erste Terme der Bernoulligleichung

Energieerhaltung

(10)

10

Venturi Röhre

Strömungsgeschwindigkeit inkompressibler Flüssigkeiten

0 2 v

0 1 2 v

1

₂

2 2

2 1

1

+ ρ + = p + ρ +

p

1 2 2 1

2 2 1

1

v v

A A

=

↓

Bernouilligleichung Kontinuitätsgleichung =

( )

(

2²

)

2 1

2 1 2

1

2 2 2

1

2 1 1

2

2 2 2

2 2 1 2 1

v 2 v 2

2 v v 1

2 1

A A

p A p

A A

p A p

A p p A

−

= −

↓

−

= −

+

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

ρ ρ

Druck in den engen Stellen der Röhre reduziert Flüssigkeit steigt nach oben

2 1

Bernouilli 2

1 gleichung

ts Kontinuitä 1

2

A v v p p

A < → > → >

Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit

am Messpunkt 2

Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit

am Messpunkt 1

vgl Barometer kein Höhenunterschied Δh=0

Ergebnis einsetzen

notwendige Messung Bestimmung des Druckunterschieds

(11)

11

... noch mehr Bernoulli

Versuch mit Buchseiten und Ökanistern

hohe Strömungsgeschwindigkeit verursacht Druckverringerung Wind über Kamin

erzeugt Unterdruck

klappernde Suppenlöffel

(12)

12

Aerodynamik

Windströmung um einen Tragflügel

Heinrich Hoffmann Der Struwwelpeter (1845)

(13)

13

Aerodynamik

Aerodynamischer Auftrieb

Geschwindigkeit des Flugzeug Fläche und Form der Tragfläche

Anstellwinkel der Tragfläche

Luftwiderstand

Turbulenz

(14)

14

Bumerangphysik

Bumerang

War einmal ein Bumerang War ein Weniges zu lang Bumerang flog ein Stück, Aber kam nicht mehr zurück Publikum – noch stundenlang-

Wartete auf Bumerang

Joachim Ringelnatz

richtiges Flügelprofil

Fake

Rotation Rotation mit Flugrichtung hohe relative Drehgeschwindigkeit

d.h. erhöhterAuftrieb

Luftströmung an Flügeln verursacht Auftrieb Rotationsachse

Rotation gegen Flugrichtung

relative Drehgeschwindigkeit niedrig, d.h. geringerer Auftrieb

Flugrichtung

Unterschiedlicher Auftrieb an den Flügelenden verursacht Drehmoment

Bumeraung kippt in die Vertikale

(15)

15

Druckmessung in bewegten Flüssigkeiten

Gesamtdruck = statischer plus dynamischer Druck

Pivotrohr

statischer

Druck dynamischer Druck

aus Differenz von Gesamt- und statischem Druck

dyn stat

res P P

P = +

potentelle Energie

Staudruck statischer Druck

Gesamtdruck v = 0 . 0 m/s

v

2

2 1 ρ +

=

_stat

res

P

kinetische Energie

welche Anteile tragen zum Druck bei?

Gesamtdruck

Prandtlrohr

Gesamtdruck statischer Druck

(16)

16

Toricellis Theorem

Ausströmgeschwindigkeit aus einem Reservoir

gh gh gh

oben unten

h h h

unten unten

oben oben

unten oben

2 v

v

2 v v 1

2 1

2 2

+

=

↓

+

= +

−

=

Toricellis Theorem Atmosphärendruck

an Oberfläche des Sees

gleiche Druckverhältnisse Atmosphärendruck auch

beim Ausströmen der Flüssigkeit

unten unten

oben oben

unten unten

unten oben

oben oben

gh gh

p gh

ρ ρ

+

= +

↓

+ +

= +

+

2 2

2 v v 1

2 1

2 v v 1

2 1

leichung Bernoullig

Energieerhaltung

Ergebnis identisch zu freiem Fall eines Körpers Annahme

reibungslose Bewegung

gh mgh m

m

PE KE

KE

Berg Tal

Berg Berg

Tal

2 v

v 2 v v 1

2 1

2 2

+

=

→

+

=

+

=

h

Druck auf die Flüssigkeitsoberfläche ist an beiden Stellen der Luftdruck

(17)

17

Torricelli

Schweredruck

_H _O

gh ρ

2

v

2

2 1

2O

ρ

H geringer Schweredruck

niedrige Ausflussgeschwindigkeit große Höhe

hoher Schweredruck

hohe Ausflussgeschwindigkeit geringe Höhe

Man kann zeigen, dass h/2 die größte Weite ergibt

h

(18)

18

Leistung

Energietransfer pro Zeiteinheit

Ergebnis aus Kap. Dynamik

t W t

P E

Δ

= Δ Δ

= Δ

=

= Zeit

Arbeit Zeit

Energie Leistung

const gh

p + ρ v

²

+ ρ = 2

Start mit Gleichung von Bernoulli 1

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

=

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⋅ ⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

s Nm

s m³ m³ Nm Zeit

Volumen m³

Nm

Dimensionsanalyse: resultierende Einheit für jeden Term identisch!

Energie pro Volumen

Energie pro Volumen multipliziert mit Volumen pro Zeit

[ ] ⁼ _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤ ⁼ _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤ ⁼ _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

m³ Nm m

m m²

N m²

v N 2 ] 1

[ p ρ

²

ρ gh

V V

V

p gh

gh

p ρ ρ ⎟ φ ⁼ φ ⁺ ρ φ ⁺ ρ φ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

²

+ v

²

2 v 1

2 1

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

= Δ

⇒ t

ssrate V Volumenflu φ

_V

p φ V ρ _gh φ

_V

φ

V

ρ v

²

2 1

Energie pro Zeit also Leistung

Änderung der Druckverhältnisse

Änderung der kinetischen Energie

Änderung der potentiellen Energie

und die physikalische Bedeutung?

Transfer von Energie an die Flüssigkeit

Erweitern dieser Gleichung mit einem Term, der angibt, welche Flüssigkeitsmenge pro Sekunde fließt

Energiegleichung

(19)

19

Feuerwehr

Wasserdruck 7 bar (7 MPa)

Annahmen

kein Höhenunterschied

keine Änderung des Querschnitts

kW 93

W 10

3 . 9

s 10 m³

m² 1.33 10 N

7 0 0

gh 2 v

1 Pumpe der

Leistung Notwendige

4 2 - 6

2 =

⋅

= Φ

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ ⋅

=

+ + Φ

=

Φ +

Φ

=

p P

P

p P

Pumpe Pumpe

Pumpe

Pumpe ρ ρ

B-Rohr mit Düse 16 mm 800 l/min

0 gh

0 2 v

1

₂

= Φ

= Φ ρ

ρ

[ ] [ ] ^W

s J s

Nm s

m³ m²

N =

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

Pumpe

=

P

(20)

20

Rotierender Ball in Medium

Ba

Erstaunliche Beobachtung bei folgendem Experiment

Herunter rollender Ball plumpst ins Wasser Der Ball bewegt sich in

entgegen gesetzter Richtung zur Flugbahn

warum nicht so?

(21)

21

Analyse der Strömungsverhältnisse

Rotierender Ball in Medium

Unterdruck hohe Geschwindigkeit

Erster Beitrag Strömung ohne Rotation

Zweiter Beitrag Zirkularstrom durch Rotation

Resultierende Kraft wirkt in Richtung des Unterdrucks

Überdruck

niedrige Geschwindigkeit

(22)

22

Rotierender Ball in Medium

Ba Der Ball rotiert wenn er ins Wasser fällt

Der Bernouillieffekt wirkt auch in einem Medium wie Wasser

Kraftwirkung in Richtung der höheren Strömungsgeschwindigkeit, d.h. des niedrigeren Druckes

Magnus Effekt

Gustav Magnus (1802 - 1870)

(23)

23

Bananenflanke

"Manni Bananenflanke, ich Kopf - Tor" (Horst Hrubesch)

Ba Flugbahn

Seitliche

Kraft dem Ball

verliehener Drall

Ball Ball

Wind Luft

Magnus r

F = πρ v ² ω

Pitcher beim Wurf eines Baseballs

Erfinder der Bananenflanke Manni Kaltz

Kraftbeitrag durch den Magnuseffekt

Magnus

F

Kraftwirkung entspricht etwa dem Gewicht von ein paar Tafel Schokolade optimal Bedingungen bei Flanken über etwa 40 Meter

(24)

24

Tennisphysik

Back-Spin

Top-Spin

Drive

(25)

25

Flettnerboote

mögliche resultierende Kraftwirkung

Windrichtung

Kreuzen gegen den Wind, allerdings nur unter einem geringen Winkel zur

Windrichtung

Motor notwendig

Drehgeschwindigkeit des Zylinders etwa drei bis viermal höher als Windgeschwindigkeit Effizienz etwa zehnmal so hoch wie ein