Physik II (Elektrodynamik) SS 2005 1. Klausur Fr. 27.05.2005, 16:00-18:00 Uhr, Gerthsen Hörsaal, Gaede Hörsaal, HMO Hörsaal Name: …………………………………………… Matrikelnummer: ….……………….

(1)

Physik II (Elektrodynamik) SS 2005

1. Klausur

Fr. 27.05.2005, 16:00-18:00 Uhr, Gerthsen Hörsaal, Gaede Hörsaal, HMO Hörsaal

Name: ……… Matrikelnummer: ….……….

1/7

Studienziel: ………..

Übungsgruppe: ………..

Benoteter Schein erwünscht: ¨

Aufgabe Punkte Erreichbare

Punkte Handzeichen

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

Gesamt 30

Das Erreichen von 25 Punkten entspricht 100% der Klausuranforderung!

Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 10 Punkte erreicht werden.

Bitte beachten Sie:

• Führen Sie die Bearbeitung der Aufgaben nach Möglichkeit auf dem entsprechenden Aufgabenblatt (incl. Rückseite) durch. Kennzeichnen Sie alle Blätter mit ihrem Namen und ihrer Matrikelnummer. Sofern sie weitere Blätter zur Bearbeitung benötigen, so kennzeichnen Sie diese mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer.

• Zur Durchführung von Rechnungen ist die Verwendung von

Taschenrechnern gestattet. Nicht gestattet ist die Verwendung von Büchern, Mitschriften, Formelsammlungen, elektronischen

Kommunikationsmitteln und Laptops. Sollten Sie bei der Verwendung programmierbarer Taschenrechner den Eindruck erwecken, diese als Informationsspeicher zu verwenden, wird die Klausur als nicht

geschrieben gewertet.

• Die Lösungswege müssen nachvollziehbar dargestellt werden. Setzen sie Zahlenwerte möglichst erst am Schluß der Rechnung ein.

• Bitte schreiben Sie leserlich und halten Sie ihren Studentenausweis bereit.

(2)

1. Klausur

2/7

Aufgabe 1) 2 Kondensatoren parallel

Ein Kondensator der Kapazität C₁ =20pF=2⋅10^-11F wird mit einer Spannung kV

0 =3

U über einen Widerstand R=75kO aufgeladen (Schalter S₁ geschlossen,

Schalter S₂ offen). 



 



 = Ω= ⋅

C s 1V 1 V ; 1C F 1 :

Hinweis .

a) Nach welcher Zeit t ist der Kondensator C₁ zur Hälfte aufgeladen?

b) Welche Ladung Q₁ befindet sich auf dem vollständig geladenen Kondensator C₁?

Nachdem der Kondensator C₁ vollständig aufgeladen wurde, wird dieser mittels des Schalters S₁ von der Spannungsquelle getrennt und durch das Schließen des Schalters S₂ mit dem ungeladenen Kondensator C₂ =50pF=5⋅10^-11F parallel geschaltet. Es stellt sich ein neues elektrostatisches Gleichgewicht ein.

c) Wie verteilt sich nach Erreichen des Gleichgewichtes die Ladung auf die Kondensatoren C₁ und C₂?

d) Vergleichen Sie die potentielle elektrische Energie die vor und nach dem Schließen des Schalters S₂ in den Kondensatoren C₁ und C₂ gespeichert ist. Wodurch kommt der Unterschied zustande?

(3)

1. Klausur

3/7

Aufgabe 2) Kondensator mit Dielektrikum

Zwei parallel geschaltete Plattenkondensatoren, mit gleicher Kapazität C₁, dem Plattenabstand D=2cm und der Plattenfläche A=100cm² befinden sich in Luft

(

εr =¹

)

. Sie werden über ein Netzgerät auf eine Spannung von U₀ =5V aufgeladen.

Das Netzgerät wird abgetrennt und in einen Kondensator wird parallel zu den Platten eine Scheibe aus nichtleitendem Material der Dicke d =1cm und der Dielektrizitätszahl εr =3 eingeschoben.



 =

⋅

= ⋅

⋅

⋅ ⋅

= ⁻

m 1 F m V

s 1 A m N 1 C m ;

N 10 C 85 , 8 :

Hinweis ₂

2 2

2 12

ε0

a) Welche Gesamtkapazität ergibt sich vor und nach Einbringen des Dielektrikums? Wie ändert sich die zu messende Spannung an der Kondensatoranordnung?

b) Berechnen Sie die elektrische Energie der Kondensatoranordnung vor und nach Einbringen des Dielektrikums. Welche Verlustmechanismen sind denkbar?

(4)

1. Klausur

4/7

Aufgabe 3) 4 Punktladungen

Die Punktladungen Q₁, Q₂, Q₃ und Q₄ befinden sich an den Ecken eines Quadrates mit Kantenlänge a. Die Punktladungen Q₁ und Q₃ tragen jeweils die Ladung q, Die Punktladungen Q₂ und Q₄ jeweils die Ladung 2q.

a) Berechnen Sie die Kraft, die auf jede Ladung wirkt.

b) Wie groß ist die potentielle Energie der Anordnung, wenn ^Epot

(

^r ⁼^∞

)

⁼⁰

ist?

(5)

1. Klausur

5/7

Aufgabe 4) Geladener Stab

Ein Stab der Länge l trägt eine homogen verteilte Ladung Q (1-dim. Problem). Er liegt auf der x-Achse mit seinem Mittelpunkt bei x=l 2.

a) Wie groß ist das elektrische Potenzial auf der x-Achse in Abhängigkeit vom Ort für x>l?

b) Zeigen Sie, dass für x>>l das Ergebnis von a) in das einer Punktladung übergeht. (Verwenden sie für α <<1 die Näherungen α

α ≈ +

− 1

1

1 und

(

1+α

)

≈α

ln .)

Nehmen Sie jetzt an, dass ein anderer Stab die inhomogene lineare Ladungsdichte

(

^.

)

;

1 ₀

0 const

l x l

x⋅ =



 

 −

⋅

=λ λ

λ trägt.

c) Wie groß ist die Gesamtladung Q dieses Stabes?

(6)

1. Klausur

6/7

Aufgabe 5) Widerstandsnetzwerk

Welchen Gesamtwiderstand R_g hat das in der Abbildung dargestellte Widerstandsnetzwerk?

(7)

1. Klausur

7/7

Aufgabe 6) Geladene Kugelschale

Eine elektrische Ladung sei statisch auf einer Kugelschale mit Innenradius R₁ und Außenradius R₂ verteilt mit einer konstanten Ladungsdichte ρ

( )

^r =^a für R₁ ≤r≤R₂, wobei r den Abstand vom Mittelpunkt der Kugelschale beschreibt. Außerhalb der Kugelschale (r< R₁ oder r >R₂) gilt ρ =0.

a) Bestimmen Sie das elektrische Feld Ev

als Funktion von r für die drei Bereiche r<R₁, R₁ ≤r≤R₂ und r >R₂.

b) Zeigen Sie, dass das elektrische Potential φ im Inneren der Kugelschale (r<R₁) den konstanten Wert

( ) (

²² ¹²

)

2a0 R R

r = −

φ ε hat. Setzen Sie dazu das Potential im Unendlichen auf ^φ

(

^r^→^∞

)

⁼⁰^.

c) Wie groß ist die Energiedichte W im Inneren der Kugelschale (r< R₁)?

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

2. Klausur, Orientierungsklausur

Fr. 08.07.2005, 15:30-17:30 Uhr, Gerthsen Hörsaal, Gaede Hörsaal

1/7

Studienziel: ………..

Übungsgruppe: ………..

Benoteter Schein erwünscht: ¨

Aufgabe Punkte Erreichbare

Punkte Handzeichen

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

Gesamt 30

Das Erreichen von 25 Punkten entspricht 100% der Klausuranforderung!

Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 10 Punkte erreicht werden.

Bitte beachten Sie:

• Führen Sie die Bearbeitung der Aufgaben nach Möglichkeit auf dem entsprechenden Aufgabenblatt (incl. Rückseite) durch. Kennzeichnen Sie alle Blätter mit ihrem Namen und ihrer Matrikelnummer. Sofern sie weitere Blätter zur Bearbeitung benötigen, so kennzeichnen Sie diese mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer.

• Zur Durchführung von Rechnungen ist die Verwendung von

Taschenrechnern gestattet. Nicht gestattet ist die Verwendung von Büchern, Mitschriften, Formelsammlungen, elektronischen

Kommunikationsmitteln und Laptops. Sollten Sie bei der Verwendung programmierbarer Taschenrechner den Eindruck erwecken, diese als Informationsspeicher zu verwenden, wird die Klausur als nicht

geschrieben gewertet.

• Die Lösungswege müssen nachvollziehbar dargestellt werden. Setzen sie Zahlenwerte möglichst erst am Schluß der Rechnung ein.

• Bitte schreiben Sie leserlich und halten Sie ihren Studentenausweis bereit.

(26)

2/7

Aufgabe 1) Ringspule

Eine Ringspule (Toroidspule) mit Eisenkern habe N =600 Windungen und den mittleren Ringradius R=35cm. Die Permeabilitätszahl des Eisenkerns ist µE =500. Der Eisenkern hat einen Luftspalt der Breite d <<R mit µLuft ≈1.

a) Wie hängt die Feldstärke B_L im Bereich des Luftspaltes von der Breite d ab?

b) Wie hängt die Feldstärke B_E im Inneren des Toroids von der Breite d ab?

c) Welche Werte ergeben sich für H_L, wenn der Luftspalt eine Breite von mm

5 ,

=1

d hat und ein Strom von I =4A durch die Spule fließt?

Beschreiben Sie das Magnetfeld B als Funktion der Breite d.

d) Inwiefern ist das Ergebnis abhängig von der Symmetrie der Anordnung?

Wie sieht das Ergebnis für einen rechteckigen Kern mit der Länge a und der Breite b und einem Luftspalt d aus?

(27)

3/7

Aufgabe 2) Teilchen im E r

- und B r

-Feld

Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m bewege sich in einem elektrischen Feld Er

und einem magnetischen Feld Br

. Zum Zeitpunkt t₀ =0 sei die Position und die Geschwindigkeit in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben durch

(

⁰^,⁰^,⁰

)

= rr

und ^vr =

(

^v0^,⁰^,⁰

)

. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt t >t₀ bei folgenden Bedingungen (Hinweis: Machen Sie sich zuerst eine Skizze!):

a) ^B^r ⁼

(

⁰^,⁰^,⁰

)

^,^E^r ⁼

(

⁰^,⁰^,^E

)

^.

b) ^B^r ⁼

(

^B^,⁰^,⁰

)

^, ^E^r ⁼

(

⁰^,⁰^,^E

)

^.

c) ^B^r ⁼

(

⁰^,^B^,⁰

)

^,^E^r ⁼

(

⁰^,⁰^,⁰

)

^.

Skizzieren Sie die Flugbahn des Teilchens für Teilaufgabe c).

(28)

4/7

Aufgabe 3) Stab auf Schienen

Ein leitfähiger Stab der Masse m=400g mit dem elektrischen Widerstand R =0,5Ω gleite reibungsfrei auf zwei parallelen Schienen mit Abstand l=80cm, deren Widerstand vernachlässigbar sei und die um den Winkel α =45° gegen die Erdoberfläche geneigt sind. Ein homogenes Magnetfeld der Stärke B=1,2T weist senkrecht nach oben. Die Schienen sind an einem Ende elektrisch verbunden.

Berechnen Sie die stationäre Endgeschwindigkeit v_end des Stabes.

3 2

2

s A

m 1kg

1 ⋅

= ⋅

Ω , ₂

s A 1 kg T

1 = ⋅ , Erdbeschleunigung: ₂ s 81m ,

=9 g

(29)

5/7

Aufgabe 4) Massenfilter

Ein Strahl einfach ionisierter Atome tritt mit der einheitlichen Geschwindigkeit s

m 10 2

v= ⋅ ⁵ senkrecht in ein magnetisches Feld mit der Flussdichte B=0,5T ein.

a) Nachdem die Ionen um 180° abgelenkt worden sind, treffen sie auf eine Fotoplatte. Wie weit sind die Auftreffpunkte der Isotope ¹⁶O und ¹⁸O vom einfallenden Ionenstrahl entfernt?

b) Welchen Drehimpuls hat ein ¹⁶O-Ion bei seiner Bahn im Magnetfeld?

c) Wie groß muss ein elektrisches Feld sein und wie muss es orientiert sein, wenn es verhindern soll, dass die ¹⁶O-Ionen abgelenkt werden? Wie bewegen sich dann die ¹⁸O-Ionen?

1 Mol ¹⁶O wiegt 16 g 1 Mol ¹⁸O wiegt 18 g Avogadrozahl:

Mol 10 1 02 ,

6 ⋅ ²³

A =

N , ₂

s A 1 kg T

1 = ⋅ , 1C=1A⋅s

(30)

6/7

Aufgabe 5) Leiterschleife

Eine Leiterschleife habe den Radius R und werde vom Strom I durchflossen. Das Zentrum der Leiterschleife liege im Koordinatenursprung, die Leiterschleife selbst in der x,y-Ebene.

a) Berechnen Sie das Magnetfeld für einen beliebigen Punkt auf der z-Achse unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart:

( ) ( )

( )

∫

⁻₋^′ ^×_′ ^′

⋅ ⋅

−

= ⁰ ₃

4 r r

r d r r r I

B r r

r r r r

r

π µ

b) Betrachten Sie die z-Komponente des Magnetfeldes für z>>R und ziehen Sie unter Einbeziehung des magnetischen Dipolmomentes vergleichende Schlüsse zum E-Feld eines elektrischen Dipols

3 0

2 4

1 z

E ⋅ p

= ⋅ ε

π mit dem Dipolmoment p=ql.

(31)

7/7

Aufgabe 6) LRC-Kreis

Sie haben einen Stromkreis mit einer Induktivität L=30mH, einem Widerstand Ω

=25

R und einer Kapazität C =12µF, der an eine Wechselspannungsquelle mit V

=90

Ueff und einer Frequenz f =500s⁻¹ angeschlossen ist. Berechnen Sie a) Den Strom I_eff im Kreis,

b) Die Spannung U_eff über jedem der Elemente (L, R und C), c) Den Phasenwinkel φ,

d) Und die mittlere Verlustleistung P der Schaltung.

3 2

2

s A

m 1kg

1 ⋅

= ⋅

Ω , ₂ ₂

2

s A

m 1kg H

1 ⋅

= ⋅ , ₂

4 2

m kg

s 1A F

1 ⋅

= ⋅ , ₃

2

s A

m 1kg V

1 ⋅

= ⋅ U_eff

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

Aufgabe 3

Ein leitender Stab der Masse m = 400g mit dem elektrischen Widerstand R = 0,5O gleite nahezu reibungsfrei auf zwei parallelen Schienen mit Abstand l = 80 cm, deren Widerstand vernachlässigbar sei und die um den Winkel a = 45° gegen die Erdoberfläche geneigt sind.

Ein homogenes Magnetfeld der Stärke B = 1,2 T weise senkrecht nach oben. Die Leiter sind an einem Ende elektrisch leitend verbunden.

Berechnen Sie die stationäre Endgeschwindigkeit v_end des Stabs.

Lösung:

Die Geschwindigkeit steigt so lange an bis die Lorentzkraft FL die Hangabtriebskraft FH

kompensiert, bis also FL = FH gilt.

s m l

B g m v R

g R m

v l

F B F

R

v l

B B l I B l I F

R v l B R I U

v l

B U

dx l

B A d B d

g m F

end H end L

L H

cos 3

²

tan

² sin cos

²

² cos

² cos ²

|

cos cos

|

cos sin

⋅ ≈

⋅

= ⋅

⇒

⋅

⋅ =

⋅

⇔ ⋅

=

⋅

= ⋅

⋅

=

×

⋅

=

⇒

⋅

= ⋅

=

⋅

= Φ

=

⋅

=

⋅

= Φ

⋅

=

α α

α α α α α

α α α

r r

&

r r

(38)

Aufgabe 4

Ein Strahl einfach ionisierter Atome tritt mit einheitlicher Geschwindigkeit v =2⋅10⁵m/s senkrecht in ein magnetisches Feld mit der Flussdichte B = 0,5 T ein.

a) Nachdem die Ionen um 180° abgelenkt sind, treffen sie auf eine Fotoplatte. Wieweit sind die Auftreffpunkte der Isotope ¹⁶O und ¹⁸O vom einfallenden Ionenstrahl entfernt?

b) Welchen Drehimpuls hat ein ¹⁶O-Ion bei seiner Bahn im Magnetfeld?

c) Wie groß muss ein elektrisches Feld sein und wie muss es orientiert sein, wenn es die Ablenkung der ¹⁶O-Ionen verhindern soll?

Wie bewegen sich dann die ¹⁸O-Ionen?

NA = 6*10²³ 1/mol

Lösung:

a) (2 Punkte)

Die Lorentzkraft FL zwingt die Isotope auf eine Kreisbahn und wirkt somit als Zentripetal- kraft:

B cm e

v r m

d

B cm e

v r m

d

kg mol

mol kg N

mol g m

kg mol

mol kg N

mol g m

B e

v r m

r v B m

v e F

F

O O

O

O O

O O O

A A Z L

15 2

2

35 , 13 2

2

10 1 3

10 6

018 , 0 18

10 67 , 1 2

10 6

016 , 0 16

| ²

|

18 18

18

16 16

16

26 18 23

26 16 23

⋅ =

⋅ ⋅

=

⋅

=

⋅ ≈

⋅ ⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

≈

⋅

=

⋅

= ⋅

⋅ ⇒

=

⋅

⇔

=

−

r r

b) (2 Punkte)

s m B kg

e r r

m J

L

m B v e

m B v e F

F

O O

O

Z O

L

10 ² 56 , 3

|

22 2

16 2

16 16

⋅ ⋅

≈

⋅

=

⋅

=

⋅

=

= ⋅

⇒

⋅

=

⋅

⇔

=

ω −

ω

ω r ω

r

(39)

c) (1 Punkt)

Das elektrische Feld muss senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung und senkrecht zum Magnetfeld stehen, damit es die Lorentzkraft kompensieren kann.

m B V

v E B

v e E e F

F_C | | _L | 10⁵

| r = r ⇔ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ =

Die ¹⁸O-Ionen bewegen sich ebenfalls ohne Ablenkung, also genauso wie die ¹⁶O-Ionen, weil die Coulomb- und die Lorentzkraft unabhängig von der Masse sind und beide Isotope dieselbe Geschwindigkeit v besitzen.

(40)

Aufgabe 5

Eine Leiterschleife habe den Radius R und werde vom Strom I durchflossen. Das Zentrum des gebogenen Leiters liege im Koordinatenursprung, die Schleife selbst in der xy-Ebene.

a) Berechnen Sie das Magnetfeld für einen beliebigen Punkt auf der z-Achse unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart

∫ ⁻ ₋ ^×

− ⋅

= (| `|)³

`

`) (

) 4

(

⁰

r r

r d r r r I

B r r

r r

r r r

π µ

.

b) Betrachten Sie die z-Komponente des Magnetfelds für z>>R und ziehen Sie unter Ein- beziehung des magnetischen Dipolmoments vergleichende Schlüsse bzgl des E-Felds eines elektrischen Dipols

³ 2 4

1

0 z E = ⋅ p

πε

mit dem Dipolmoment p = ql.

Lösung:

a)

ez

z R

R I

z R

R dt I

z R

R t zR

t zR

r I B

dt R

t zR

t zR dt

t R t R

t zR

t zR dt

t t R

z t R

t R r

d r r

z t R

t R t

t R z r r

dt t

t R

dt dt r r d d t

t t R

r

r r r

r r r r r

r r r

+ ⋅

⋅ ⋅

=













 + ⋅

⋅ ⋅ + =

















⋅

= ⋅

⋅















⋅

−

=

⋅















−

⋅

−

⋅

−

=

⋅













−

⋅

×















⋅

−

⋅

−

=

×

−

⇒

















⋅

−

⋅

−

=















⋅

−















=

−

⋅













−

⋅

=

⋅

=

⇒

 ∈















⋅

=

∫

₂ ₍ _² ^² _²_)³

1 0 0 )³

²

² (

² )³ 2

²

² (

² sin cos

) 4 (

² sin cos

² sin

²

² cos

²

sin cos 0

cos sin sin

cos

`

`) (

sin cos 0

0

`

0 cos

sin

` ` )

2 , 0 ( 0

sin cos

`

0 0

2 0

0 µ µ

π µ

π

b)

³ 2 4

³

² 2

4 :

)³

²

² (

² 2 )³ 4

²

² (

² 2

0 0

0

0 0

z m z

A I z

R B I

R z

z R

R I

z R

R B I

z z

⋅ ⋅

⋅ =

⋅ ⋅

⋅ =

⋅

⋅ ⋅

≈

>>

+

⋅

⋅ ⋅ + =

⋅ ⋅

=

π µ π

µ

π π

µ µ

Die stromdurchflossene Leiterschleife wirkt also wie ein magnetischer Dipol.

(41)

Physik II (Elektrodynamik) SS 2005 1. Klausur Fr. 27.05.2005, 16:00-18:00 Uhr, Gerthsen Hörsaal, Gaede Hörsaal, HMO Hörsaal Name: …………………………………………… Matrikelnummer: ….……………….

Aufgabe 1) 2 Kondensatoren parallel

Aufgabe 2) Kondensator mit Dielektrikum

(

)

Aufgabe 3) 4 Punktladungen

(

)

Aufgabe 4) Geladener Stab

(

)

(

)

Aufgabe 5) Widerstandsnetzwerk

Aufgabe 6) Geladene Kugelschale

( )

( ) (

)

(

)

Aufgabe 1) Ringspule

Aufgabe 2) Teilchen im E r

- und B r

-Feld

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Aufgabe 3) Stab auf Schienen

Aufgabe 4) Massenfilter

Aufgabe 5) Leiterschleife

( ) ( )

( )

∫

Aufgabe 6) LRC-Kreis

∫ − − ×

− ⋅

= (| `|)³

`

`) (

) 4

(

r r

r d r r r I

B r r

r r

r r r

π µ

∫

∫ ⁻ ₋ ^×