Extremwerte von Funktionen mehrerer Variabler
Tutorien Höhere Mathematik II 25.-27.6.2012
1. Berechnen Sie Lage und Art aller lokalen Extrema für folgende Funktionen f : R
2→ R (a) f (x, y) = e
−(x2+y2),
(b) f (x, y) = x
2+ y
2+ xy + 3x + 3y + 5.
2. Zeigen Sie, dass f : R
2→ R , f (x, y) = y
2−
14x
2weder Minima noch Maxima besitzt.
3. Gegeben ist die Funktion f : R
2→ R , f (x, y) = 14 − 3x − 2y. Bestimmen Sie den Punkt auf dem Graphen von f , der dem Ursprung (0, 0, 0)
Tam nächsten liegt.
4. Bestimmen Sie das maximale Produkt xyz dreier nichtnegativer Zahlen x, y und z, deren Summe gleich 105 ist.
5. Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f : R
2→ R , f (x, y) = x
2+ y
2unter der Nebenbedin- gung x + y = 1
(a) durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion, (b) mit Hilfe der Lagrange-Methode.
Verdeutlichen Sie sich die geometrische Situation, indem Sie ein Höhenlinienbild von f zeichnen und darin die Nebenbedingung visualisieren.
6. Berechnen Sie die stationären Punkte der Funktion aus Aufgabe 1(b) unter der Nebenbedingung x
2+ y
2= 1.
7. Durch die Gleichung y
2− x
3− x
2= 0 (x ≥ −1) wird eine Kurve in der x − y−Ebene beschrieben.
Bestimmen Sie die Kurvenpunkte mit horizontaler Tangente sowie den Schnittwinkel der Kurven- tangenten im Punkt (0, 0)
T.
−1 −0.5 0 0.5
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6
