1. Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte (Stelle, Funktionswert und Art des Ex- tremums) der Funktionen

Prof. Dr. Eckhard Liebscher Wintersemester 21/22 Fachgruppe Mathematik

Aufgabenserie 11 zur Vorlesung ”Mathematik für Betriebswirte”

1. Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte (Stelle, Funktionswert und Art des Ex- tremums) der Funktionen

a) f (x; y) = x

+ xy + y

3x + 2;

b) f (x; y) = 2x

y + xy

+ 5x

+ 24x

+ 36x + 1 (x; y 2 R ).

Bestimmen Sie auß erdem zu jeder Funktion die Tangentialebene im Punkt P (0; 1) für Funktion a) und im Punkt P ( 1; 2) für Funktion b). In welcher Richtung steigt die Funktion f (x; y) am steilsten vom jeweiligen Punkt P aus gesehen? Wie großist die Richtungsableitung der Funktion an der Stelle P in Richtung =

?

2. Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte (Stelle, Funktionswert und Art des Ex- tremums) der Funktion

a) f(x; y) = 1 x + 8

y + xy; b) f (x; y) = y p

x y

x + 6y;

c) f(x; y) = 2

5 x

+ 5x

+ 6y

+ 12xy;

d) f(x; y) = 6xy

12xy + 2x

15x

+ 30x:

Geben Sie die Tangentialebene der Funktion in d) an der Stelle (2,0) an.

3. Das sächsische Unternehmen Heeser produziert Ka¤eeautomaten mit einem speziellen Brühverfahren und kann die Produkte zum Festpreis von 50 Euro absetzen. Die Kosten- funktion des Unternehmens ist gegeben durch

K(x) = 0:04x

+ x

+ 25x;

wobei x die tägliche Produktionsmenge in 1000 Stück angibt.

a) Bestimmen Sie die Produktionsmenge x, die den Gewinn maximiert.

b) Für welche Mengen x liegt das Unternehmen in der Gewinnzone?

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