Komplexe Zahlen I

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Komplexe Zahlen I

die Grundlagen

MNProfil - Gymnasiale Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

Name:

Vorname:

14. Mai 2020

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Inhaltsverzeichnis

1 Einf¨uhrung und ¨Uberblick 3

2 Gleichungen & unm¨ogliche L¨osungen 7

2.1 Lineare Gleichungen . . . 7

2.2 Quadratische Gleichungen . . . 11

2.3 Kubische Gleichungen . . . 13

3 Die Menge der komplexen Zahlen 23 4 Die Gauß’sche Zahlenebene 27 4.1 Die geometrische Interpretation der algebraischen Operationen -eine Lernaufgabe . . . 28

4.2 Die Polarform . . . 30

4.3 Die Exponentialform . . . 37

4.3.1 Exkurs in die Reihenentwicklung . . . 38

5 Die Wurzeln aus einer komplexen Zahl 44 6 Links . . . 48

7 Meine Zusammenfassung: 49

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Nachdem ihr beim Lösen von Gleichungen unter der Anwendung von Ma- thematicaschon öfters auf sog.komplexe Lösungengestossen seid und auf Aus- drücke, welche dieimaginäre Einheitibeinhalten, wollen wir uns im Folgenden etwas genauer mit dieseneingebildetenundder Phantasie entsprungenenZahlen befassen.

In diesem SkriptKomplexe Zahlen I

werden wir uns einen kurzen geschichtlichen Überblick verschaffen und die notwendigen Grundlagen definieren und diskutieren. Dabei werden wir uns in- tensiv mit der Herleitung der Formel von Cardano für das Lösen kubischer Gleichungen befassen.

Wir werden die komplexen Zahlen als L¨osungen von Gleichungen und Elemente derMenge C kennenlernen, geometrisch betrachten(Gauβ’sche Zahlenebene), dabei die Polarkoordinaten, die zugeh¨origen Darstellungen und die Euler’sche Formelbesprechen.

Schliessen werden wir mit denWurzeln.

Im anschliessenden SkriptKomplexe Zahlen II

werden wir die komplexen Zahlen zum Schwingen bringen, die komplexen Funktionenkennenlernen und insbesondere mit Hilfe vonMathematica Fraktale und weitere Anwendungen untersuchen.

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1 Einf¨ uhrung und ¨ Uberblick

Obwohl schon im 16. Jahrhundert CARDANO (1501 - 1576) mit komplexen Zahlen alsL¨osungenvon Gleichungen gerechnet hat

x_1,2= 5±√

−15 sind L¨osungen von x(10−x) = 40

dauerte es sehr lange, bis diekomplexen Zahlenin Mathematikerkreisen akzep- tiert wurden. Sie galten als unmöglich und eingebildet und als Phantasiegebilde dem menschlichen Geiste abgetan. Selbst Cardano bezeichnete seine Zahlen als quantitas sophistica, als spitzfindige Grössen und hielt sie für unnütze Spielerei- en.

Dass sie nicht ganz unnütz waren, zeigte sich in der Vermutung vonDES- CARTES (1667 - 1754):”Eine Gleichung hat immer so viele Lösungen, wie ihr Grad angibt. Wenn die Lösungen auch manchmal seulment imaginaires sind.”

Diese Vermutung ist heute als Fundamentalsatz der Algebra bekannt und gilt als bewiesen.

EULER (1707 - 1783)hatte sich, neben vielem anderen, auch lange Zeit mit den komplexen Zahlen auseinandergesetzt. Er f¨uhrte das Symbol

i f¨ur √

−1

ein, rechnete damit wie wenni²=−1 ist und leitete die Euler’sche Formel e^ix= cosx + isinx

her. Eine Formel, in welcher die Algebra (komplexe Zahlen), die Analysis (Po- tenzreihenentwicklung) und die Geometrie (Trigonometrie) in eine Beziehung gebracht werden.

In seinem LehrbuchVollst¨andige Anleitung zur Algebraaus dem Jahre 1770 schreibt er ¨uber die komplexen Zahlen:

”Weil nun alle möglichen Zahlen, die man sich immer vorstellen mag, entweder grösser oder kleiner als 0 oder 0 selbst sind, ist klar, dass die Quadratzahlen von Negativzahlen nicht einmal zu den mögli- chen Zahlen gerechnet werden können. Folglich müssen wir sagen, dass sie unmögliche Zahlen sind. Dieser Umstand führt uns zum Begriff solcher Zahlen, die ihrer Natur nach unmöglich sind und gewöhnlichimaginäreodereingebildeteZahlen genannt werden, weil

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Natur nach ganz und gar unm¨oglich sind, haben wir von ihnen doch einen hinl¨anglichen Begriff, da wir wissen, dass durch sie eine Zahl angedeutet wird, die mit sich selbst multipliziert als Produkt -4 her- vorbringt; und dieser Begriff ist ausreichend, um diese Zahlen den Rechenverfahren zu unterwerfen.”

Den Nimbus des Esotherischen und des Phantastischen verloren diese ima- ginären Zahlen erst durchGAUSS (1777 - 1855)und seiner Veröffentlichung einer geometrischen Interpretation der komplexen Zahlen mittels derGauß’schen Zahlenebene:” ... so wie man sich das ganze Reich aller reellen Grössen durch eine unendliche Linie denken kann, so kann man das Reich aller Grössen, reeller und imaginärer Grössen, sich durch eine unendliche Ebene sinnlich machen, worin jeder Punkt, durch Abszisse = a und Ordinate = b bestimmt, die Grösse a + bi gleichsam repräsentiert.”

Die formale Definition der komplexen Zahlen als eine Menge geordneter Zahlenpaare mit inneren Verkn¨upfungen geht auf HAMILTON (1805 - 1865) zur¨uck.

Wir werden im Folgenden als Zugang zu den komplexen Zahlen ebenfalls den Weg überGleichungen und Unmögliche Lösungen wählen.

Im Kapitel ¨uberDie Menge der komplexen Zahlen werden wir die Re- chengesetze in der kartesischen Darstellung besprechen. Auf die formale Defini- tion von Hamilton werden wir nicht weiter eingehen.

Im anschliessenden Kapitel ¨uber Die Gauß’ sche Zahlenebene werden wir die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen besprechen und mit ihr auch die Polarform herleiten. Mit einem kurzen Abstecher in die Potenzreihen- entwicklung werden wir die Euler’sche Formel herleiten und mit ihr insbesondere die Rechenoperationen geometrisch interpretieren.

Weiter werden wir im KapitelDie Wurzeln aus einer komplexen Zahl die L¨osungen der Gleichungzⁿ =a, mit a∈C bestimmen und geometrisch interpretieren.

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Zum Abschluss ein kurzer ¨Uberblick ¨uber den historischen Weg zuC: (aus Mag. G. Hainscho’sWorkshop komplexe Zahlen,

zu finden unterhttp://www.acdca.ac.at/material/kl7/7c−wshop.pdf

• 1515:Scipione del Ferro(1465 - 1526) findet die Lösung fürx³+bx=c durch Wurzeln(Radikale). Er hält seine Lösungsmethode jedoch geheim und teilt sie lediglich einigen Freunden bzw. Schülern mit, unter anderem Antonio Maria Fior.

• 1535: Antonio Maria Fior stelltNicolo Fontana(1499/1500 - 1557) auch Tartaglia(der Stotterer) genannt wegen eines Sprachfehlers aufgrund einer Gesichtsverletzung bei der Einnahme von Brescia durch die Franzosen (1512), 30 Aufgaben, die auf solche Gleichungen führen. Tartaglia findet die Lösung und gibt sie (ohne Beweis) auf viele Bitten und dem Verspre- chen, sie nicht zu veröffentlichen, anGirolamo Cardano (1501 - 1576) in Form eines Sonetts weiter.

• 1545: Cardano bricht sein Versprechen und veröffentlicht die Lösung in seinem Hauptwerkars magna sive de regulis algebraicis. Er unterscheidet wahre und fiktive Lösungen (verae & falsea bzw. fictae), d.h. positive und negative, sowie verschiedene Typen von Gleichungen:x³+bx=c, x³ = bx+c, x³ +c = bx. Jeder Fall wird extra durch geometrische Über- legungen begründet, da noch keine geeignete Symbolik für algebraische Untersuchungen entwickelt war. Es kann vorkommen, dass im Zuge der Rechnung Wurzeln aus negativen Werten auftreten(casus irreducibilis), insgesamt jedoch eine positive reelle Lösung existiert. Cardano bezeichnet solche Grössen alsquantitae sophisticae, d.h. formale, an sich sinnlose Wer- te. Rechenregeln für solche Werte wurden erstmals vonRaffael Bombelli (1526 - 1572) angegeben. Cardanos Buch enthält auch andere Aufgaben mit Lösungen in Form von quantitae sophisticae sowie eine Lösung für Gleichungen 4. Grades, die von seinem Schüler und SchwiegersohnLuigi Ferrari(1522 - 1565) gefunden wurde.

• Andere Methoden zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades wurden später gefunden, etwa mit Hilfe von Kegelschnitten von Rene Descar- tes(1596 - 1650) oderPierre de Fermat(1601 - 1665), sowie mit Hilfe goniometrischen Beziehungen vonFran¸cois Viète(1540 - 1603) oderAl- bert Girard(1595 - 1632). Descartes bezeichnet Wurzeln aus negativen Zahlen alsimaginär.

• 1738: Veröffentlichung einer vereinfachten Herleitung der Cardanischen Formel durchLeonhard Euler(1707 - 1783). Später führt Euler auch die Beziehungifür die Wurzel aus√

−1 ein und erkennt den fundamentalen

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Gauß prägt schliesslich die Bezeichnung komplexe Zahl, veranschaulicht komplexe Zahlen als Punkte einer Ebene und beweist 1799 endgültig den von Descartes formulierten Satz, dass jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n komplexe Lösungen besitzt.

• Niels Henrik Abel(1802 - 1829) gelingt der Beweis der Unm¨oglichkeit, die allgemeine L¨osung von Gleichungen 5. Grades durch Wurzeln darzustellen.

• Evariste Galois(1811 - 1832) gelingt der Beweis der Unmöglichkeit, die allgemeine Lösung von Gleichungen n-ten Grades (n≥5) durch Wurzeln darzustellen sowie die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen einer Gleichung und ihrer Gruppe: eine Gleichung ist genau dann in Radikalen auflösbar, wenn diese Gruppe eine Normalreihe mit abelschen Faktoren hat.

• Benoˆıt B. Mandelbrot(1924 - ), Heinz-Otto Pleitgen(1945 - ) u.a.

bewirken durch Visualisierungsm¨oglichkeiten des Computers im Zusamm- nehang mit Fraktalen bzw. der Chaostheorie eine gewisse Popularisierung der komplexen Zaheln, wobei oft ¨asthetische Aspekt im Vordergrund ste- hen.

• Für einen weiteren Überblick über die Zahli:

ZeitschriftMathematiklehrenNr.121 (12.2003)

• F¨ur eine Vertiefung der Herleitung der Cardanischen Formel:

http://www.math.uni-frankfurt.de/ fuehrer/Schriften/1996−Cardano.pdf

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2 Gleichungen & unm¨ ogliche L¨ osungen

Wir werden in diesem Kapitel die Lösungsformeln algebraischer Gleichungen herleiten und diskutieren. Dabei werden wir auf einige unmögliche Lösungen stossen, welche sich dennoch als nützlich erweisen werden, da der formale Einsatz dieser eingebildetenund der Phanatasie entsprungenenZahlen, das Lösen von Gleichungen ermöglichen.

Def.: Eine Gleichung heisstalgebraisch(n-ten Grades inx) :⇔

sie ist von folgender Form:

anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+an−2xⁿ⁻²+ . . . +a2x²+a1x+a0= 0 mita_n ∈R, ∀n∈N, a_n6= 0.

Wir beginnen (als Repetition für euch) mit dem Lösen und Diskutieren von LinearenundQuadratischen Gleichungen. Das Lösen vonKubischen Gleichun- genwird uns dann auf dieCardanischen Formelnführen.

Weiter werden wir feststellen, wie das Einf¨uren voni=√

−1 das Rechnen mit unm¨oglichen L¨osungen vereinfacht.

2.1 Lineare Gleichungen

Def.: Eine Gleichung heisstlinear :⇔ . . .

Bem.: • Die Anzahl L¨osungen einer Linearen Gleichung . . .

• Die L¨osbarkeitsbedingungen werden bestimmt durch . . .

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Beispiel 2.1 Gegeben ist die folgende Gleichung:

xq·(q−5)−√

a²=q·(1−14x)−3·(a 3 + 5)

1. Bestimme eine Normalform.

2. Diskutiere die L¨osbarkeitsbedingungen d.h.: . . .

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3. Bestimme die L¨osungsmenge f¨ur die folgende Wahl der Parameter:

(a) q= 0, a= 7, (b) q= 0, a= 22, (c) q=−9, a= 7, (d) q= 9, a=−2, (e) q=a= 1.

4. Wie m¨ussen die Parameter qund agew¨ahlt werden, damit folgendes gilt:

(a) L={0},

(b) L={1},

(c) L={0.5}

(d) L=G.

5. Bestimme ein Beispiel einer Normalform einer linearen Gleichung, in wel- chen alle drei F¨alle vorkommen.

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Aufgaben 2.1 Wir l¨osen zwei Beispiele aus der Klasse und werden die L¨osbarkeitsbedingungen verifizieren:

Aufgaben 2.2 Diskutiere die folgende Bruchgleichung vollst¨andig:

1− a a+x 1 + a

a+x

=2x+a 2a+x

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2.2 Quadratische Gleichungen

Def.: Eine Gleichung heisstquadratisch :⇔ . . .

Bem.: • Die Anzahl L¨osungen einer Quadratischen Gleichung:

• Die L¨osbarkeitsbedingungen werden bestimmt durch

Aufgaben 2.3 Gib je ein Beispiel einer Quadratischen Gleichung, welche 1. keine,

2. genau eine, 3. zwei,

4. mindestens drei L¨osungen hat.

Da wir sp¨ater zur Herleitung derCardanischen Formelndas Prinzip derku- bischen Erg¨anzunganwenden werden, folgende Aufgabe:

Aufgaben 2.4 Leite die Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung her.

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Aus dem letzten Kapitel derars magnavonCARDANO (1501 - 1576)(seinem Hauptwerk ¨uber das L¨osen von Gleichungen) stammt die folgende Aussage:

Wenn jemand sagt: ”teile 10 in zwei Teile, deren Produkt 40 (...) ist”, so ist klar, dass dieser Fall unm¨oglich ist.

Desungeachtet wollen wir wie folgt verfahren: Wir teilen 10 in zwei gleiche Teile, von denen jeder 5 ist. Diese quadrieren wir, das macht 25. Wenn du willst, subtrahiere 40 von den gerade erhaltenen 25 (...); der damit erhaltene Rest ist -15, die Quadratwurzel daraus, addiert zu oder subtrahiert von 5 gibt die beiden Teile mit dem Pro- dukt 40. Dies sind also5 +√

−15und5−√

−15.

Zeige, dass diese spitzfindigen Grössen (quantitas sophistica) wirklich den unmöglichen Fall erfüllen:

Formuliere die zugeh¨orige Gleichung:

Uberpr¨¨ ufe die

”L¨osungen“:

Was verbirgt sich hinter dem beschriebenen L¨osungsweg:

Wir haben also eine Gleichung mit zweiunmöglichenLösungen, welche aber dennoch die gegebene Gleichung formal erfüllen.

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2.3 Kubische Gleichungen

Def.: Eine Gleichung heisstkubisch :⇔ . . .

Die Grundidee zur Bestimmung der Lösungen einer kubischen Gleichung ist das Bestimmen einer Lösung mit Hilfe der Formel von Cardano und der anschliessenden Reduktion unserer Gleichung auf eine quadratische Gleichung, die wir bearbeiten können (Lösungsformel). Die Reduktion erfolgt durch das

”Ab- spalten der einen L¨osung“.

Das L¨osungsverfahren wollen wir auf vier Schritte aufteilen:

• 1. Schritt: Mit Hilfe einer ”kubischen Erg¨anzung” und einerSubstituti- onwerden wir unsere kubische Gleichung auf einereduzierte Normalform bringen (d.h. wir lassen den quadratichen Koeffizienten verschwinden):

y³+py+q= 0

• 2. Schritt: Mit Hilfe derFormel von Cardanolässt sich für die reduzierte Normalform eine Lösung bestimmen.

• 3. Schritt: Durch das Abspalten unserer Lösung erhalten wir für die noch fehlenden Lösungen eine quadratische Gleichung, die wir sicher lösen können.

• 4. Schritt: Durch eineRücksubstitutionerhalten wir dann die Lösungen für unsere ursprüngliche Gleichung.

Deine Aufgabe wird im Folgenden sein,

- die vorgeführten Umformungen nachzuvollziehen, - fehlende Umformungen/Beweise zu ergänzen und - abschliessend ein konkretes Beispiel zu lösen.

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Wir beginnen mit dem1. Schritt:

Die Umformung auf eine reduzierte Normalform

An folgendem Beispiel wollen wir das Vorgehen durchrechnen:

x³−12x²+ 54x−108 = 0 (1)

Wir betrachten die ersten zwei Summanden als den Rumpf eines kubischen Binoms und wollen die folgendekubische Erg¨anzungeinbinden:

(x−12

3 )³=x³−12x²+ 48x−64 (2)

Unter Ber¨ucksichtigung der Differenz von (2) zu (1) folgt ¨aquivalent zu (1):

x³−12x²+ 54x−108 = 0

⇔ (x−4)³+ 6x−44 = 0

⇔ (x−4)³+ 6·(x−4)−20 = 0

Durch die Substitution y =x−4 erhalten wir unser Beispiel (1) in der folgendenreduzierten Normalform

y³+ 6y−20 = 0 (3)

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Aufgaben 2.5 Beweise die folgende Aussage f¨ur den Falln= 3:

In jeder algebraischen Geichung

xⁿ+an−1xⁿ⁻¹+an−2xⁿ⁻²+ . . . +a2x²+a1x+a0= 0 l¨asst sich mit Hilfe der folgenden Substitution

x=y−a_n−1 n

die zweith¨ochste Potenz eliminieren

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Weiter mit dem2. Schritt:

Die Herleitung der Formel von Cardano

Da wir nun wissen, dass wir jede kubische Gleichung auf eine reduzierte Nor- malform bringen können, dürfen wir für die Herleitung der Lösungsformel von Cardano von einer kubischen Gleichung in der reduzierten Normalform ausge- hen:

y³+p·y+q= 0 (4)

Mit Hilfe der Substitution y=u+v erhalten wir:

y³ = (u+v)³

= u³+ 3u²v+ 3uv²+v³

= u³+ 3uv(u+v) +v³ und somit ¨aquivalent zu (4):

y³−3uv·y−(u³+v³) = 0 (5)

Bis hierher zusammegefasst haben wir nun:

y³+p·y+q = y³−3uv·y−(u³+v³)

⇔ y = u+v

Aus dem Koeffizientenvergleich von (4) mit (5) folgt:

p=−3uv ∧ q=−u³−v³ (6)

so dass wir folgern k¨onnen:

y=u+vist L¨osung von (4), wenn gilt:

u³·v³= (−p

3)³ ∧ u³+v³=−q (7)

Das Gleichungssystem (7) l¨asst sich nun mit Hilfe desEinsetzungsverfahrens und geschickten Umformungen nachv³undu³ aufl¨osen . . .

(18)

• nachv³ aufl¨osen . . .

• nachu³ aufl¨osen . . .

Das Aufl¨osen des Gleichungssystems liefert uns v³ = −q

2± r

q 2

2

+p 3

3

u³ = −q 2∓

r q

2 ²

+p 3

³

und somit eine L¨osung der kubischen Gleichung (4):

y= ³ s

−q 2+

r q

2 ²

+p 3

³ + ³

s

−q 2 −

r q

2 ²

+p 3

³

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ist die sog. Formel von Cardano zur Bestimmung einer L¨osung einer kubischen Geichung in der reduzierten Normalform dargestellt.

(von ihm publiziert, doch wahrscheinlich nicht von ihm das erste Mal hergeleitet).

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Die Formel von Cardano angewendet auf unsere kubische Gleichung in der reduzierten Normalform (3) liefert folgende L¨osung:

y= ³ q

10 + 6√ 3 + ³

q

10−6√ 3

Leite die L¨osung mit Hilfe der Formel von Cardano her und verifiziere sie durch einsetzen in (3):

Mit Hilfe von Umformungen und folgender Beziehung (1±√

3)³= 10±6√

3 (9)

l¨asst sich zeigen, dass unsere L¨osung auch einer reellen Zahl entspricht:

y= ³ q

10 + 6√ 3 + ³

q

10−6√ 3 = 2

Beweise, dass (9) gilt und unsere L¨osung wirklich reell ist:

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Es folgt der3. Schritt:

Die Abspaltung unserer L¨osung

Die Abspaltung liefert uns die folgende noch zu l¨osende Gleichung:

y²+ 2y+ 10 = 0

Wir schliessen mit dem4. Schritt:

Die R¨ucksubstitution

Die Rücksubstitution liefert uns die folgenden Lösungen für unsere Aus- gangsgleichung (1):

x₁= 6 , x_2,3= 3±3√

−1

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Aufgaben 2.6 Bringe die folgenden kubischen Gleichungen auf die reduzierte Normalform:

1. x³−12x²+x= 0

2. 2x³+ 18x²−2x−4 = 0

3. ax³+bx²+cx+d= 0

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Aufgaben 2.7 Bestimme die L¨osungsmenge f¨ur folgende Gleichung:

x³−9x²+ 18x+ 28 = 0

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Wir haben nun gesehen, dass wir durch formales Einsetzen die Existenz nicht-reeller Zahlen als eine Lösung einer Gleichung verifizieren können und das wir sogar durch geschicktes Umformen aus solchen Zahlen (nicht aus allen, aber einigen von uns verwendeten Zahlen) reelle Zahlen gewinnen können.

Ein weiteres Beispiel hierf¨ur ist:

q3

2 +√

−121 + ³ q

2−√

−121 = 4

Aufgaben 2.8 Beweise obige Gleichung, in dem Du das von Euler ein- gef¨uhrte Symbol

i=√

−1 verwendest und damit rechnest,

”wie wenni²=−1 sei”

Zeige zuerst:

2 +√

−121 = (2 +i)³

. . . und jetzt, dass der obige Term wirklich reell ist:

Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

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3 Die Menge der komplexen Zahlen

Wir haben im letzten Kapitelunm¨oglicheZahlen kennnegelernt, mit denen sich, obwohl die Zahlennicht vorstellbarsind, rechnen l¨asst.

Wir wollen diese Zahlen in einer Menge zusammenfassen und darauf dieGrund- operationendefinieren, so dass uns ein algebraischer Umgang mit diesen Zahlen m¨oglich wird.

Vorerst die Definition einiger Grundbegriffe:

Def.: i heisst die imagin¨are Einheitund wird ¨uber die folgende Ei- genschaft definiert:

i²:=−1

Unter einerimagin¨aren Zahl wird das Produkt aus einer reellen Zahlb∈R\ {0}und der imagin¨aren Einheiti verstanden:

bi

Unter einerkomplexen Zahlwird die Summe aus einer reellen Zahlxund einer imagin¨aren Zahliy verstanden:

x+iy ∀x, y∈R

Bem.: • Das Quadrat einer imagin¨aren Zahl ist immer eine negative reelle Zahl: . . .

• Die Darstellungsform einer komplexen Zahlz=x+iyheisst dieNormalformvonzoder diekartesische Darstellung vonz.

• F¨ur eine komplexe Zahlz=x+iy∈Cheissen xderRealteilundy derImagin¨arteilvonz.

Schreibweisen: Realteilvonz: Re(z) =x∈R Imagin¨arteil vonz: Im(z) =y∈R

• Die folgende Menge C:={z|z=x+iy, mitx, y∈R} heisstdie Menge der komplexen Zahlen.

Beachte:Die reellen Zahlen sind Elemente vonC.

√

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Weitere, immer wieder vorkommende Grundbegriffe sind:

Def.: Zwei komplexe Zahlen z1=x1+iy1 und z2=x2+iy2

heissengleich: ⇔ x1=x2 ∧ y1=y2. Die komplexe Zahl z:=x−iy

heisst die zu z=x+iy (komplex)konjugierteZahl.

Sprechweise: ” z quer”.

F¨ur eine komplexe Zahl z=x+iy heisst |z|:= p x²+y² derBetragvonz.

Bem.: • Die komplexen Zahlen sind nicht total geordnet.

Wir kommen nun zur Definition der Grundrechenoperationen f¨ur die komplexen Zahlen:

Def.: Wir gehen von den zwei folgenden komplexen Zahlen aus:

z1=x1+iy1, z2=x2+iy2

dann definieren wir:

z1+z2 := (x1+x2) +i(y1+y2) z1−z2 := (x1−x2) +i(y1−y2)

z1·z2 := (x1x2−y1y2) +i(x1y2+x2y1) Bem.: • Die Definition der Multiplikation l¨asst sich auch mit Hilfe

des Distributivgesetzes herleiten (aufgrund desPermanenz- prinzipswolle wir die G¨ultigkeit der Rechenregeln nicht ver- lieren) :

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Beispiel 3.1 Wir betrachten die folgenden komplexen Zahlen:

z1= 2−5i, z2= 1 + 2i, z3=i, z4= 3 Berechne:

i. Die komplex konjugierten Zahlen zu z₁ bisz₄

ii. z₁+z₂= . . . iii. z2−z1= . . . iv. z1·z2= . . .

v. z2·z2= . . . vi. (z₃)ⁿ, n∈N= . . .

Aufgaben 3.1 Was f¨ur eine Vermutung folgt aus dem Beispiel v.?

Formuliere sie als Behauptung und beweise sie.

(27)

Wir wollen nun noch dieDivisionbetrachten. Das Ziel ist auch hierbei, das Resultat (in diesem Fall den Quotienten) in der Normalform darzustellen, mit einem Real- und einem Imagin¨arteil:

Beispiel 3.2 vii. 4−8i 3 + 4i = . . .

viii. 1 i = . . .

(28)

4 Die Gauß’sche Zahlenebene

Werden Real- und Imagin¨arteil einer komplexen Zahl z = x+iy als kartesische Koordinaten eines Punktes P derxy-Ebene aufgefasst, so l¨asst sich jeder komplexen Zahlgenauein BildpunktP(z) = (x/y) zuordnen und umgekehrt:

z=x+iy ↔ P(z) = (x/y)

- 6

Bem.: •

•

(29)

4.1 Die geometrische Interpretation der algebraischen Operationen - eine Lernaufgabe

In dieser Aufgabe sollt ihr die algebraischen Operationen auf ihr geometrische Bedeutung hin untersuchen, in dem ihr jeweils im 1. Quadranten die Situationen simuliert:

d.h. • ihr gebt euch eine, bzw. zwei beliebige komplexe Zahlen im 1. Quadranten vor,

• f¨uhrt die zu untersuchende Operation durch,

• stellt das Resultat ebenfalls im Koordinatensystem dar und

• versucht durch den Vergleich der Werte die geometrische Ab- bildung hinter den algebraischen Operationen zu erkennen:

• komplex konjugiert

- 6

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• der Betrag einer komplexen Zahl

- 6

• die Addition zweier komplexer Zahlen

- 6

• die Subtraktion zweier komplexer Zahlen

- 6

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F¨ur die geometrische Bedeutung derMultiplikationundDivisionzweier komplexer Zahlen ben¨otigen wir eine weitere Darstellungsform, diePolarform, welche wir im Folgenden besprechen werden.

4.2 Die Polarform

Jeder BildpunktP(z) einer komplexen Zahl z=x+iy l¨asst sich auch durch diePolarkoordinatenrundϕdarstellen:

- 6

Die Anwendung der trigonometrischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck liefert uns den folgenden Zusammenhang zwischen denPolarkoordinaten und denkartesischenKoordinaten:

Die obigen Koordinatentransformationsgleichungen angewendet auf eine komplexe Zahl z=x+iy f¨uhrt auf folgende Darstellung:

die sog.Trigonometrische Formodercis-Form.

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Aufgaben 4.1 Stelle die folgenden Zahlen in der Gauß’schen Ebene dar:

• z1= 3−4i

• z2= 3i

• z₃=−2 +i

• z₄= 2(cos^π₆+isin^π₆)

• z₅= 2(cos^π₆−isin^π₆)

• z6= 2(cos−^π₆ +isin−^π₆)

(Sowohl als Bildpunktals auch alsZeiger)

- 6

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F¨ur die Umrechnung einer komplexen Zahl aus der trigonometrischen Form in die kartesische Form k¨onnen wir die schon bekannten Transformationen

x=r·cosϕ , y=r·sinϕ verwenden.

Für die Umformungen einer komplexen Zahl aus der kartesischen Form in die trigonometrische Form müssen wir den Quadranten mitberücksichtigen, in welchem der Bildpunkt liegt.

Aufgaben 4.2 Leite die Formeln f¨ur die Transformationen kartesisch→trigonometrisch

in jedem Quadranten her:

• Im 1. Quadranten

- 6

(34)

- 6

(35)

- 6

Zusammengefasst: (f¨urz=x+iy)

Quadrant I II &III IV

ϕ = x =

Aufgaben 4.3 Bestimme f¨ur die folgenden komplexen Zahlen die zugeh¨orige trigonometrische Darstellung:

1. z₁= 3 + 4i 2. z₂=−4 + 2i 3. z3=−8−6i 4. z4= 4−4i

(36)

Mit Hilfe derAdditionstheoremewerden wir uns dann endlich mit den schon angek¨undigten geometrischen Eigenschaften der Multiplikation und Division komplexer Zahlen besch¨aftigen.

Die Additionstheoreme:

Aufgaben 4.4 Beweise die Additionstheoreme.

(37)

• Die Multiplikation:

• Die Division:

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Mit Hilfe derReihenentwicklungderSinus-undCosinusfunktionund derEx- ponentialfunktionl¨asst sich eine weitere, ausgesprochen anwendungsfreundliche Darstellungsform f¨ur die komplexen Zahlen herleiten:

4.3 Die Exponentialform

Die Grundidee derReihenentwicklungwerden wir im Zusammenhang mitFolgen

& Reihenkennenlernen:

Die Idee ist: Eine Funktion durch eine Reihe, also eine unendliche Summe, darzustellen

1

1−x = 1 +x+x²+x³+x⁴+x⁵+. . . Wir veranschaulichen mit Hilfe vonGeoGebra . . .

Im KapitelDifferentialrechnungwerden wir uns dann ausf¨uhrlich mit diesem Thema besch¨aftigen und dann die folgendenReihenentwicklungenherleiten:

sinx=x−x³ 3! +x⁵

5! −x⁷ 7! ±. . . cosx= 1−x²

2! +x⁴ 4! −x⁶

6! ±. . . e^x= 1 +x+x²

2! +x³ 3! +x⁴

4! +. . . Somit folgt f¨ure^ix:

(39)

4.3.1 Exkurs in die Reihenentwicklung

Wir wollen uns in diesem Exkursgraphisch mit der Idee einer Reihenentwick- lung auseinandersetzen.

Ein Ziel einer Reihenentwicklung ist

anspruchsvoll zu behandelnde Funktionen durch

”einfache“ Funktio- nen lokal zu approximieren . . .

• approximierenheisst ann¨ahern,

• lokalbedeutet, dass diese Approximation nur ¨uber einem Teil des Defini- tionsbereichs stattfindet,

• als (ganz)einfachzu behandelnde Funktionen gelten die Polynomfunktio- nen.

Wir schauen uns ein Beispiel an:

mit • g(x) =x+ 2

• h(x) =−0.573x+ 0.854

• k(x) =−x⁴−5x³−9x²−5x−1

(40)

Aufgaben 4.5 Wir wollen uns nun etwas mit dem zu Beginn aufgef¨uhrten Beispiel besch¨aftigen:

1

1−x = 1 +x+x²+x³+x⁴+x⁵+. . . 1. Vergleiche graphisch die Funktion f(x) = 1

1−x mit (a) g0(x) = 1,

(b) g1(x) = 1 +x, (c) g₂(x) = 1 +x+x², (d) g₃(x) = 1 +x+x²+x³, (e) g₄(x) = 1 +x+x²+x³+x⁴,

(f ) g₈(x) = 1 +x+x²+x³+x⁴+. . . x⁸.

2. Bestimme den Fehler jeder Approximation von f(x) durch gn(x) an der Stellex= 0.8.

3. Bestimme den kleinsten Grad der Polynomfunktion gn(x) der notwendig ist, um den Fehler an der Stellex= 0.8 auf unter 0.01 zu bringen.

Aufgaben 4.6 Untersuche nun selbst¨andig die folgenden Reihenentwick- lungen:

sinx=x−x³ 3! +x⁵

5! −x⁷ 7! ±. . . cosx= 1−x²

2! +x⁴ 4! −x⁶

6! ±. . . e^x= 1 +x+x²

2! +x³ 3! +x⁴

4! +. . . mitGeoGebra, teste den BefehlTaylor[ . . . ],

(41)

Zur¨uck zu denAnwendungender Exponentialform:

DieEuler’sche Formelzur Darstellung komplexer Zahlen erm¨oglicht uns nun eine Beziehung zwischen den komplexen Zahlen und der Analysis herzustellen und die Anwendung der Potenzgesetze, um komplexe Zahlen zu multiplizieren und dividieren und insbesondere auch zu potenzieren.

Wir verwenden jeweils: z₁=r₁e^iϕ¹ undz₂=r₂e^iϕ²

• die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1·z2=

d.h.:

Geometrische Interpretation:

- 6

(42)

• die Division zweier komplexer Zahlen z1:z2=

d.h.:

Geometrische Interpretation:

- 6

(43)

Aufgaben 4.7 Interpretiere die folgenden Rechenoperationen geometrisch:

• Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer po- sitiven reellen Zahl;

• die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer komplexen Zahl vom Betrag Eins;

• die Multiplikation einer komplexen Zahl mit der imagin¨aren Einheit;

• die Division einer komplexen Zahl durch die imagin¨aren Einheit

(44)

Aufgaben 4.8 Vereinfache die folgenden Ausdr¨ucke:

• e^iπ=

• e^ix+e^−ix

2 =

• e^ix−e^−ix

2i =

• iⁱ=

• ilni=

Aufgaben 4.9 Formuliere und beweise die Formel von de Moivre

(45)

5 Die Wurzeln aus einer komplexen Zahl

Wir wollen uns in diesem Kapitel mit den L¨osungen einer algebraischen Glei- chung vom Typ zⁿ = a besch¨aftigen und (vorerst ohne Beweis) festhalten:

Eine algebraische Gleichung n-ten Grades von folgendem Typ anxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+a_n−2xⁿ⁻²+ . . . +a1x+a0= 0 hat h¨ochstens n reelle L¨osungen.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Eine algebraische Gleichung n-ten Grades von folgendem Typ a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+a_n−2xⁿ⁻²+ . . . +a₁x+a₀= 0 hat in der Menge Cgenau n L¨osungen.

Bemerkungen & Erg¨anzungen:

(46)

Wir definieren nun:

Def.: Eine komplexe Zahl z heisst einen-te Wurzel ausa, wenn sie der folgenden Gleichung gen¨ugt:

zⁿ =a , mita∈C Das Bestimmen der L¨osungen:

(47)

Beispiel 5.1 z⁶= 1

Die zugeh¨orige graphische Darstellung der L¨osung:

(48)

Beispiel 5.2 z⁴= 3 + 2i

Die zugeh¨orige graphische Darstellung der L¨osung:

(49)

6 Links . . .

• zur Theorie:

– Ein Leitprogramm zu den komplexen Zahlen der ETHZ:

Leitprogramm ETHZ

– Die Theorie zu den komplexen Zahlen Teil 1, von Lukas Prokop.

Deckt meine Auswahl sehr gut ab:

Theorieunterlagen von Lukas Prokop

• zu Aufgaben:

– Aufgaben mit Hinweisen zu & den L¨osungen selber, auf der homepage einzeln abrufbar:

Aufgaben & L¨osungen der Uni G¨ottingen

– Aufgaben & L¨osungen mit Weg, der Humboldt Universit¨at zu Berlin:

Aufgaben & Lösungen der Humboldt-Universität zu Berlin – Aufgaben & Lösungen auch zu den komplexen Funktionen,

auf der Seitemunterbuntauf swisseduc.ch:

Aufgaben & L¨osungen auf auf swisseduc.ch

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