2.
3.
4. Komplexe Zahlen
4.1 Die „Imagin•re Einheit i“ und die „Imagin•re Zahl“
Bei der L•sung von Gleichungen wie z.B. x
2+ 1 = 0 ergab sich die Notwendigkeit, die Gr•‚e
zu verwenden ( Geronimo Cardano, 1545 ).
Spƒter wurde
mit i ( Euler, ab 1777 ) oder in der Elektrotechnik mit j abgek„rzt.
Mit der Festlegung i€i = -1 ist i als die Imaginƒre Einheit definiert.
________________
Anmerkung: Die Verwendung von
nach den herk•mmlichen Rechenregeln st•‚t auf Widerspr„che:
Da
a
b =
a€b , ergibt sich f„r
=
= … 1. i€i ist aber eindeutig gleich -1.
_________________
Die Angabe b€i mit b IR ist damit eine „Imaginƒre Zahl“.
Imaginƒre Zahlen und reelle Zahlen haben verschiedenartige Eigenschaften, sie k•nnen z.B. nicht bez„g- lich ihrer Gr•‚e verglichen werden.
4.2 Die komplexe Zahl
Die Summe einer reellen Zahl a und einer imaginƒren Zahl b€i hei‚t „Komplexe Zahl“
z = a + b€i mit a : Realteil, b : Imaginƒrteil
Damit lƒ‚t sich formulieren:
F„r jedes Polynom p(x) = x
n+ a
n-1x
n-1+ ... + a
1x + a
0gibt es komplexe Zahlen z
k= a
k+ i€b
k, so da‚ p(x) = ( x - z
1) ( x - z
2) ... ( x - z
n) . Die z
1, z
2, ... , z
nhei‚en „Wurzeln“ des Polynoms.
Rechengesetze:
Seien a, b, c, x beliebige komplexe Zahlen, und speziell gelte 1 = 1 + i€0, 0 = 0 + i€0.
Neben den Regeln der Addition und Subtraktion von Vektoren in der Ebene gilt:
1.) a€(b€c) = (a€b)€c 2.) a€b = b€a 3.) a€1 = 1€a = a
4.) ( a+b ) €c = a€c + b€c
4.3 Darstellung von komplexen Zahlen
1.) Kartesische Koordinaten,
d.h. mit Real- und Imaginƒrteil z = a + i€b ( siehe 4.2 )
graphisch als Punkte mit den Koordinaten ( a,b ) in der Gau‚schen Zahlenebene
Re : Realteil Im : Imaginƒrteil
Die Punkte k•nnen f„r Rechenzwecke auch durch ihre Ortsvektoren gekennzeichnet werden.
2.) Polarkoordinaten, d.h. mit Betrag und Winkel
r, : Polarkoordinaten von z Wertebereiche:
r 0, 0 2
Die Addition + k€2 , k , verƒndert den Wert von z nicht.
r hei‚t „Betrag“ von z, hei‚t „Argument“ (=Winkel) von z.
Polardarstellungen von z :
a) z = r ( cos + i€sin ) <== Real-/Imaginƒrteil
b) z = r e
i€<== Exponentialform
Es gilt: | cos + i€sin | = | e
i€| = 1
Die Verbindung zwischen den Formen (a) und (b) ist durch die Eulersche Beziehung gegeben:
e
i€= cos + i€sin
Damit gilt auch:
cos = ˆ ( e
i€+ e
-i€) und sin =
1/
2i( e
i€- e
-i€)
3.) Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen:
* Gegeben: Betrag r und Winkel von z , gesucht: Realteil und Imaginƒteil von z :
Re(z) = a = r cos Im(z) = b = r sin
* Gegeben: Realteil a und Imaginƒteil b von z , gesucht: Betrag r und Winkel von z :
| z | = r = a
2+ b
2Argument ( Winkel ) von z :
= arctan = arcsin = arccos
Achtung: die Funktion tan(x) ist nur im Bereich - x + definiert.
Winkel au‚erhalb dieses Bereiches sind nur durch eine „geeignete Abfrage“
zu erkennen.
Definitionsbereich des tan()
Ist Re(z) = a < 0, so mu‚ der Winkelwert, der sich mit der arctan-Funktion ergibt, um ( bzw. 180‰) erh•ht werden.
Šhnliche Probleme treten bei Verwendung von arcsin( ) und arccos( ) auf, die Korrektur ist aber nicht so einfach wie bei arctan( ) .
b a
b
| z |
a
| z |
2
2
4.) Spezielle Werte von z :
1 = e
i€0siehe Abb. zu 1.) Kartesische Koordinaten
i = e
i€(/2)-1 = e
i€= e
-i€-i = e
-i€(/2)4.4 Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie entweder a) gleiche Real- und gleiche Imaginƒrteile
oder
b) gleiche Betrƒge und gleiche Argumente ( Winkel )
haben. F„r die Feststellung der Gleichheit m„ssen immer zwei Bedingungen gleichzeitig erf„llt sein.
zu a) Gegeben seien z
1= a
1+ i€b
1, z
2= a
2+ i€b
2z
1= z
2hei‚t: a
1= a
2und b
1= b
2zu b) Gegeben seien z
1= r
1e
i€, z
2= r
2e
i€z
1= z
2hei‚t: r
1= r
2und
1=
2Merke: Eine Gleichung mit komplexen Zahlen ergibt immer zwei Gleichungen mit reellen Zahlen.
Das gleiche gilt f„r 2-dimensionale Vektoren.
4.5 Die konjugiert komplexe Zahl
F„r z = x + i€y definieren wir die zu z konjugiert komplexe Zahl durch z _
: = x - i€y Schreibweise auch : z
*Es gilt: z
1+ z
2= z _
1+ z _
2z
1€ z
2= z _
1€ z _
2z Geometrisch bedeutet die Konjugation:
Spiegelung an der reellen Achse
z _
4.6 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
Addition und Subtrakton von komplexen Zahlen werden genauso ausgef„hrt wie die Addition und Sub- traktion von 2-dimensionalen Vektoren in einem kartesischen x-y-Koordinatensystem. Dabei entspricht der Realteil der komplexen Zahl der x-Komponente des Vektors und der Imaginƒrteil der komplexen Zahl der y-Komponente des Vektors.
Addieren oder Subtrahieren von komplexen Zahlen in der Exponentialform ist nicht mƒglich !
4.7 Multiplikation von komplexen Zahlen
Gegeben: z
1= a
1+ i€b
1= r
1e
i€, z
2= a
2+ i€b
2= r
2e
i€Produkt mit Exponentialform:
z = z
1€ z
2= r
1r
2e
i ( ( Die Betrƒge werden multipliziert, die Winkel werden addiert. ) Produkt mit Real-/Imaginƒrteil:
z = z
1€ z
2= (a
1+ i€b
1) (a
2+ i€b
2)
= a
1a
2- b
1b
2+ i€(a
1b
2+ a
2b
1) Geometrisch bedeutet die Multiplikation mit z
2: Drehung um
2und Streckung (bzw. Stauchung) mit r
2.
Beispiele:
1.) Gegeben: z
1= 2 + i€3, z
2= 1 + i€1
z = z
1€ z
2= 2€1 - 3€1 + i ( 3€1 + 2€1 ) = -1 + i€5 oder in der Exponentialdarstellung:
(1) Umwandeln von Re-/Im-Teil in Exponentialform
r
1= 2
2+3
2= 13 = 3,606
1= arctan(3/2) = 0,983rad ^ = 56,3‰
r
2= 1
2+1
2= 2 = 1,414
2= arctan(1/1) = 0,785rad ^ = 45‰
(2) Multiplizieren
z = z
1€ z
2= 3,606€1,414€e
i(0,983+0,785)rad= 5,099€e
i€1,768rad( 1,768rad ^ = 101,3‰) (3) R„ckwandeln in Re-/Im-Teil
z = 5,099 ( cos(1,768rad) + i€sin(1,768rad)) = -0,999 +i€5,000 Vergleich mit der Rechnung in Re-/Im-Teil:
Bis auf geringe Rundungsfehler stimmen die Ergebnisse „berein.
Der Aufwand f„r die Rechnung mit der Exponentialform ist erheblich gr•‚er, wenn die Expo- nentialform nicht von vornherein vorliegt und das Ergebnis wieder nach Re-/Im-Teil vorliegen soll, was immer der Fall ist, wenn sich Addition oder Subtraktion anschlie‚t.
z
Der Betrag von z
2ist > 1. Daher wird der Betrag des Produktes gr•‚er als der Betrag von z
1. z
1Der Winkel
2ist > 0, daher wird der Winkel von z
1in mathematisch positiver Richtung weitergedreht.
z
22.) Gegeben: z
1= 2 + i€3, z
2= 1 - i€1
z = z
1€ z
2= 2€1 + 3€1 + i ( 3€1 - 2€1 ) = 5 + i€1 oder in der Exponentialdarstellung:
(1) Umwandeln von Re-/Im-Teil in Exponentialform
r
1= 3,606 , r
2= 1,414 ,
1= 0,983rad wie in 1.)
2= - 0,785rad , der Imaginƒrteil von z
2ist jetzt negativ
(2) Multiplizieren
z = z
1€ z
2= 3,606€1,414€e
i(0,983-0,785)rad= 5,099€e
i€0,198rad( 0,198rad ^ = 11,3‰) (3) R„ckwandeln in Re-/Im-Teil
z = 5,099 ( cos(0,198rad) + i€sin(0,198rad)) = 4,999 +i€1,003
z
1Da z
2einen negativen Winkel hat, wird z
1mathematisch negativ verdreht.
z
z
23.) Gegeben: z
1= 1, z
2= i z
3= z
1€z
2= i; z
4= z
3€z
2= -1
z 3 bzw. z 2
Jede Multiplikation mit i bewirkt
eine Drehung um /2 gegen den Uhrzeigersinn,
d.h. mathematisch positiv. z 4 z 1
4.8 Division von komplexen Zahlen
Gegeben: z
1= r
1e
i1; z
2= r
2e
i2Division mit der Exponentialform:
z = = € = € e
i ( )oder mit Real- und Imaginƒrteil:
z
1a
1+ i€b
1( a
1+ i€b
1) ( a
2- i€b
2) a
1a
2+ b
1b
2+ i€(a
2b
1- a
1b
2) z = z
2= a
2+ i€b
2= ( a
2+ i€b
2) ( a
2- i€b
2) = a
22+ b
22konjugiert komplexe Erweiterung
Speziell gilt:
1 1
i = i
-1=
e
i (/2)= e
- i (/2): R„ckdrehung um 2
4.9 Betr•ge von Produkten und Quotienten
(a) Der Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkt der Betrƒge der Faktoren:
| z | = | z
1€z
2| = | z
1| | z
2|
(b) Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Betrƒge von Zƒhler und Nenner:
| z | =
(c) | e
i€| = 1
1 i
i
1 1
2 2
z | z | z | z |
1 2
z z
1 2
r r
i 1
i 2
e e
1 2
