SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie L¨osung zu T5, Blatt 4 Widerspruchsannahme: Sei P (

SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie

L¨osung zu T5, Blatt 4

Widerspruchsannahme: Sei P(^S_nⁿ konvergiert inR)>0.

In der Menge {^S_nⁿ konvergiert in R} gilt X_n

n = S_n−Sn−1

n = S_n

n − n−1 n

Sn−1

n−1 →0, n→ ∞.

Denn in der obengenannten Menge es existiert ja, f¨ur jeden enthaltenen Element ω ein reelles a(ω) mit ^Sn_n^(ω) →a(ω). Es folgt

P(X_n

n →0)>0.

Das Ereignis {^X_nⁿ → 0} ist aber terminal, denn man sieht leicht dass f¨ur jeden m ∈ N gilt {limn→∞ Xn

n = 0} = {limn≥m,n→∞ Xn

n = 0} ∈ σ(X_l, l ≥ m). Es folgt somit aus dem Kolmogoroffschen-0-1-Gesetz dass

P(X_n

n →0) = 1.

Dies ist unter unseren Voraussetzungen laut T3, Blatt 4 genau dann der Fall, wenn E_P[|X₁|]<∞. Widerspruch.

L¨osung zu T6, Blatt 4

Unter den Voraussetzungen gilt das Starke Gesetz der Grossen Zahlen (SGGZ). Also es existiert ein a∈R− {0} mit

P(Sn

n →a) = 1.

Da sowohl die Betragsfunktion f(x) =|x| f¨ur alle x∈R, als auch die Funktion g(x) = _x¹ f¨ur x >0 stetig sind, folgt

P(|S_n|

n → |a|>0) = P( n

|S_n| → 1

|a| >0) = 1.

Somit reicht es zu zeigen

P(max1≤j≤n|X_j|

n →0) = 1.

Mit derselben Rechnung wie in T5 (am Anfang der L¨osung), zeigt man

P(X_n

n →0) = 1.

Man wird fertig, wenn man sich noch daran erinnert, dass f¨ur jede reelle Folge (a_n)_nsodass

an

n →0, n→ ∞ noch gilt:

max1≤j≤n|a_j|

n →0, n → ∞.

Denn: sei >0 beliebig. Dann es existiert einM ∈N mit

|a_n|

n < , n ≥M.

Somit wegen

max1≤j≤n|a_j|

n ≤ max1≤j≤M|a_j|

n + max_M≤j≤n|a_j| n

≤ max1≤j≤M|a_j|

n +, n ≥M

folgt auch

lim sup

n→∞

max_1≤j≤n|a_j|

n ≤.

Und da >0 beliebig war, auch das Gew¨unschte.