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mit P∞ n=nkan<2−k.) L¨osung: Sei n0 = 0

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 6

Abgabe bis Do, 27.11., 12 Uhr

Zusatzaufgabe 5. Zeigen Sie: F¨ur jede konvergente ReiheP

nannicht-negativer reeller Zahlenanexistiert eine Folge (bn)n mit lim

n→∞bn=∞, f¨ur die auchP

nanbn noch konvergiert.

(Hinweis: Es gibt Indizes n1 < n2 <· · · mit P∞

n=nkan<2−k.) L¨osung: Sei n0 = 0. Nach Annahme ¨uber P

nan finden wir induktiv 0 < n1 <

n2 <· · · mit |P∞

n=nkan|<2−k. Dann setzen wir bn=

3 2

k

f¨ur nk ≤n < nk+1

und erhalten

∞

X

n=nk

anbn≤

∞

X

l=k

2−k 3

2 k

=

∞

X

l=k

3 4

k

<∞.

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