mit einer Konstanten c , so folgt aus der absoluten Konvergenz von P

Majorante und Minorante Ist

|a _n | ≤ c |b _n | f¨ ur n ≥ n 0

mit einer Konstanten c , so folgt aus der absoluten Konvergenz von P

n b n

die absolute Konvergenz von P

n a _n .

Gilt umgekehrt |a _n | ≥ c |b _n | mit c > 0 f¨ ur alle bis auf endlich viele n, so folgt aus der Divergenz von P

n |b _n |, dass auch P

n a n nicht absolut konvergent ist.

H¨ aufig werden die Reihen

∞

X

n=1

q ⁿ ,

∞

X

n=1

n ^−r ,

die f¨ ur 0 < q < 1 bzw. 1 < r absolut konvergent sind, als Vergleichsreihen benutzt.

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Beispiel

Nachweis von Konvergenz bzw. Divergenz durch Vergleich mit der geometrischen und harmonischen Reihe

(i) Majorante f¨ ur

∞

X

n=0

2n n

−1

:

Vergleich mit der geometrischen Reihe P ∞

n=0 q ⁿ mit q = 1/2 = ⇒ Konvergenz:

a n =

(2n)!

(2n − n)! n!

−1

= n!

(2n)! / n! = n · (n − 1) · · · 1

(2n) · (2n − 1) · · · (n + 1) ≤ 2 ⁻ⁿ

(ii) Minorante f¨ ur

∞

X

n=1

n ² n ³ + 1000 :

Vergleich mit der harmonischen Reihe P ∞

n=1 1/n = ⇒ Divergenz:

a n ≥ n ² 2n ³ = 1

2 · 1

n , n > n 0 = 9

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