Schwache Konvergenz

Übungsblatt 9

Schwache Konvergenz

Abgabe am 16.12.2014

W-Theorie II @ Universität Duisburg-Essen Dozent: Prof. Dr. Martin Hutzenthaler Winter Semester 2014/15

Übungen: Dr. Anton Klimovsky

Aufgabe 9.1 Ein Kriterium für Straffheit aufR, 4 Punkte

Zeigen Sie: Eine FamilieF⊂ M₁(_R)ist genau dann straff, wenn es eine messbare Abbildung f:R→[0,+_∞)gibt mit f(x)→+_∞für|x| →+_∞und sup_µ∈FR

fdµ<+_∞.

Aufgabe 9.2 Ein Kriterium für Straffheit der Gauß’schen Familien, 4 Punkte

SeiL ⊂R×(0,+∞)sowie F:= {N(µ,σ²): (µ,σ²)∈ L}eine Familie der Normalverteilun- gen mit Parametern inL. Zeigen Sie:Fist genau dann straff, wennLbeschränkt ist.

Aufgabe 9.3 Ein Kriterium für Straffheit der größenverzerrten Verteilungen, 4 Punkte IstPein W-Maß auf[0,+∞)mitmP:=R

xP(dx)∈(0,+∞), so definieren wir diegrößenver- zerrte VerteilungPˆauf[0,+_∞)durch

Pˆ(A):= ¹ mP

Z

AxP(dx). (1)

Sei nun (X_i)_i∈I eine Familie von ZVen auf [0,+_∞) mit E[X_i] = 1. Zeigen Sie: (PcX_i)_i∈I ist genau dann straff, wenn(X_i)_i∈I gleichgradig integrierbar ist.

Aufgabe 9.4 Approximation der Gauß’schen ZVen durch Koordinaten

einer Gleichverteilung auf einer großen Sphäre: Rotationsinvarianz, 4 Punkte

Zeigen Sie: FallsXn = (Xn⁽¹⁾, . . . ,Xn⁽ⁿ⁾)gleichverteilt auf der Fläche der Sphäre inRⁿmit dem Radius n ∈ Nund Zentrum bei 0∈ Rⁿ ist, so gilt L^hX⁽¹⁾n

i

=⇒

n→+∞N(0, 1). (In Worten: die erste Koordinate der Gleichverteilung auf der Sphäre mit dem Radiusnund Zentrum bei 0 konvergiert schwach gegen die Standardnormalverteilung.)

Anleitung:

A. Die Gleichverteilung auf der Sphäre ist durch die sphärische Rotationsinvarianz (Sie- he (3) für die Definition) eindeutig charakterisiert (Ohne Beweis.)

B. SeiY1,Y2, . . . u.i.N(0, 1)-verteilte ZVen. Zeigen Sie

X⁽ⁱ⁾n

=D _Yi ⁿ

∑ⁿj=1Y_j²

!¹₂

=_:Zn⁽ⁱ⁾_{. (2)}

Benutzen Sie dabei ohne Beweis, dass die Verteilung vom ZufallsvektorZ= (Z⁽¹⁾n , . . . ,Z⁽ⁿ⁾n ) sphärisch rotationsinvariant ist. D.h.

∑

a_iZ⁽ⁱ⁾n

=D Zn⁽¹⁾, für allea∈_Rⁿ mit

∑

a²_i =1. (3)

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C. Zeigen Sie mit Hilfe vom Satz von Slutzky [Satz 13.18, Klenke] und dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, dass

L^hZ⁽ⁱ⁾n

i =⇒

n→+∞N(0, 1). (4)

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