Schwache Konvergenz und Austauschbarkeit

Übungsblatt 8

Schwache Konvergenz und Austauschbarkeit

Abgabe am 09.12.2014

W-Theorie II @ Universität Duisburg-Essen Dozent: Prof. Dr. Martin Hutzenthaler Winter Semester 2014/15

Übungen: Dr. Anton Klimovsky

Aufgabe 8.1 Austauschbare Partitionen und Stichprobenziehung, 8 Punkte

Sei(_Ω,F,P)ein W-Raum. Sei(s_i)_i∈N eine Folge der reellen Zahlen mits_i ≥ 0,i ∈ _Nund

∑^∞i=1si ≤ 1. Sei P die Menge aller solchen Folgen (si)_i∈N ausgestattet mit der Produktto- pologie [0, 1]^N. Sei Part(N) die Menge aller Partitionen von N. D.h. für π ∈ Part(N) gilt π = (π_i)_i∈N, π_i ⊂ N, ^S∞_i=1π_i = N, π_i∩π_j = ∅ für i 6= j. Die Menge der Partitionen Part(N)ist metrisierbar mit dem Abstand

ρ(π,π⁰):=inf

1

n:π|_[n]=π⁰|_[n]

, π,π⁰ ∈Part(_N), (1) wobei·|_[n]die Projektion auf{1, . . . ,n}bezeichnet. Jede Partitionπ∈Part(N)induziert eine ÄquivalenzrelationaufN

i∼

π j^def⇔ ∃k∈_N:i,j∈π_k. (2) Seiσ:N→_Neine Bijektion und sei Sym(_N)dieGruppevon allen solchen Bijektionen. Diese agieren auf Partitionen wie folgt

σ(π) = (σ⁻¹(π_i))_i∈N. (3) Ein W-Maß auf Part(_N) _heißtaustauschbar, falls das W-Maß invariant unter allen Transfor- mationenσaus (3) ist.

(a) Seiν ∈ M₁(P)_und L[(s_i)_i∈N] = _{ν. Sei} (mn)_n∈N u.i.v. ZVen mit Werten inN∪ {∞} und

P{mn=k}=sk, P{mn=∞}=1−

∑

k

sk. (4)

Wir betrachten nun die zufällige Partitionπ=: Samp(ν)mit den Äquivalenzklassen {n∈N:mn =k}, k∈N (5) und{n}, fallsmn=_∞,n∈N. Zeigen Sie, dassL[π]austauschbar ist.

(b) Zeigen Sie, dass sich jede austauschbare zufällige Partition π als Samp(ν) _für ν ∈ M₁(_Part(_N))darstellen lässt.

Hinweis:Benutzen Sie den Satz von de Finetti und verfahren Sie wie folgt:

1. Seiπ(ω)eine Stichprobe ausπ,ω∈Ω. Für allei∈_Nbetrachten wir dieU[0, 1]- verteilte unabhängige ZVW_i. Wir definierenVn:=W_i, wobein∈π_i.

2. Zeigen Sie, dass die Folge(Vn)n∈Nkomplett die Partitionπ(ω)beschreibt.

3. Zeigen Sie, dass die Folge(Vn)_n∈Naustauschbar ist. Benutzen Sie den Satz von de Finetti für(Vn)_n∈N.

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Aufgabe 8.2 Gauß’sche Verteilung als eineδ-Folge, 4 Punkte

SeienX,X₁,X2, . . . undY₁,Y2, . . . reelle ZVen. Es gelteL[Yn] = N(0, 1/n)für jedes n ∈ _N.

Man zeige: Es gilt genau dannXn

−→D X, wennXn+Yn

−→D Xfürn→_∞.

Aufgabe 8.3 Schwache vs. vage Konvergenz, 4 Punkte SeiE=_Rundµn =δn fürn∈N. Zeigen Sie:

v-lim

n→∞µ_n=0, (6)

jedoch ist(µn)n∈Nnicht schwach konvergent.

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