Martingalkonvergenzsätze II

Übungsblatt 5

Martingalkonvergenzsätze II

Abgabe am 18.11.2014

W-Theorie II @ Universität Duisburg-Essen Dozent: Prof. Dr. Martin Hutzenthaler Winter Semester 2014/15

Übungen: Dr. Anton Klimovsky

Aufgabe 5.1 Quadratische Variation des gestoppten Prozesses, 4 Punkte

SeiX ein quadratintegrierbares Martingal mit quadratischen VariationsprozesshXi und sei τeine Stoppzeit. Zeigen Sie: Der gestoppte ProzessX^τhat den quadratischen Variazionspro- zesshX^τi=hXi^τ:= (hXin∧τ)_n∈N0.

Aufgabe 5.2 Konvergenz fast überall, 4 Punkte

Sei f ∈ L¹(λ), wobei λ die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf [0, 1] bezeichnet. Sei I_n,k = [k2⁻ⁿ,(k+1)2⁻ⁿ)fürn∈_Nundk∈ {0, . . . , 2ⁿ−1}. Definiere fn: [0, 1]→_Rdurch

fn(x)_:= (2ⁿR

I_n,k fdλ, fallskso gewählt ist, dassx ∈Ik,n,

f(1), fallsx=1. (1)

Zeigen Sie: Fürλ-fast alle x∈[0, 1]gilt fn(x) −→

n→∞ f(x). Aufgabe 5.3 Starkes Gesetz der großen Zahlen, 4 Punkte

Seien(Xn)_n∈Nunabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit

∑

Var[Xn]

n² <∞. (2)

Zeigen Sie mit Hilfe des Martingalkonvergenzsatzes das starke Gesetz der großen Zahlen für (Xn)n∈N, d.h.

1 n

∑

(X_i−_E[X_i]) −→^f.s.

n→∞0. (3)

Aufgabe 5.4 F.s. Konvergenz von einem Martingal, 4 Punkte

Sei p ∈ [0, 1] und X = (Xn)_n∈N0 ein stochastischer Prozess mit Werten in [0, 1]. Für jedes n∈N0gelte: GegebenX0, . . . ,Xnist

Xn+1=

(1−p+pXn, mit WahrscheinlichkeitXn,

pXn mit Wahrscheinlichkeit(1−Xn). (4) (a) Zeigen Sie, dassXein Martingal ist und fast sicher konvergiert.

(b) Bestimmen Sie die Verteilung des fast sicheren Grenzwerts limn→∞Xn.

5 – 1