Schwache Konvergenz

Übungsblatt 7

Schwache Konvergenz

Abgabe am 02.12.2014

W-Theorie II @ Universität Duisburg-Essen Dozent: Prof. Dr. Martin Hutzenthaler Winter Semester 2014/15

Übungen: Dr. Anton Klimovsky

Aufgabe 7.1 Einige nützliche Räume stetiger Funktionen, 6 Punkte

(a) Zeigen Sie, dassC([0, 1])eine abzählbare, dichte Teilmenge besitzt.

(b) Zeigen Sie, dass der Raum(C_b([0,∞)),k · k_∞) der stetigen, beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm nicht separabel ist.

(c) Zeigen Sie, dass der Raum(Cc([0,∞)),k · k_∞)der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger separabel ist.

Aufgabe 7.2 Schwache Konvergenz und Konvergenz in Verteilung für Dirac-Maße, 4 Punkte

Sei(xn)n∈N eine konvergente Folge der reellen Zahlen mit limn→∞xn =:x_∞ ∈R. Seiµ_n := δ_xn die entsprechenden Dirac-Maße auf(R,B(R)),n∈N.

(a) Geben Sieµ_∞:=w-limn→∞µn an. (Begründen Sie Ihre Antwort.)

(b) Der Konkretheit halber seixn :=n⁻¹,n∈N. Wir bezeichnen durchFndie Verteilungs- funktion von µn und durch F_∞die Verteilungsfunktion von µ_∞. Geben Sie die größte Menge B⊂_Ran, so dass Fn(x) −→

n→∞F_∞(x)für allex∈B.

Aufgabe 7.3 Zufällige unendliche binäre Folgen, 6 Punkte

SeiΩ = {0, 1}^N die Menge der (unendlichen) binären Folgenω = (ω₁,ω₂,ω₃, . . .) ausge- stattet mit der Topologie, die durch die folgende Umgebungsbasis spezifiziert ist

N_l(ω)_:=ⁿξ∈Ω:ξ|_[l]=ω|_[l]^o, l∈N, (1) wobei wir die Notation ω|_[l] := (ω₁, . . . ,ω_l)_,ω ∈ Ω,l ∈ N(in Worten: “die Projektion auf die ersten l Koordinaten”) benutzen. Sei B(_Ω) die Borel-σ-Algebra, die durch die Umge- bungsbasis (1) erzeugt ist.

Fürn∈_2NseiAn die Teilmenge vonΩ, die durch An :=

( ω∈_Ω:

∑

ω_i =n/2, ω_i =0 für allei>n )

(2) definiert ist. Wir betrachten die Folge der W-Maßen(νn)_n∈2N, wobeiνndie Gleichverteilung auf Anist. D.h.νn({ω}):= (_n/2ⁿ )⁻¹fürω∈ An undνn({ω}):=_{0 sonst.}

(a) Zeigen Sie, dassνnin der Tat ein W-Maß auf(_Ω,B(_Ω))für allen∈_2Nist.

(b) Wogegen konvergiert die Folge (νn)_n∈2N schwach für n → ∞? (Begründen Sie Ihre Antwort.)

Hinweis:Benutzen Sie ohne Beweis den folgenden Fakt. Seih: Ω→_Reine stetige Funk- tion. Dann gilt, dasshgleichgradig stetig ist. D.h. es existiert eine Funktionδ:N→R mit liml→∞δ(l) =0, so dass für alleω∈Ωund alleω⁰ ∈N_l(ω):|h(ω⁰)−h(ω)| ≤δ(l) gilt.

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