§ 6 Schwache Konvergenz

§ 6 Schwache Konvergenz

6.1. Satz. Die Abbildung

J :`¹ →(c0)⁰, (Jx)(y) :=

∞

X

n=1

x_ny_n, x∈`¹, y∈c0

definiert einen isometrischen Isomorphismus.

Beweis. Seix= (x_n)∈`¹ undy= (y_n)∈c0. Dann gilt

|J(x)(y)| ≤

∞

X

n=1

|xnyn| ≤ kyk∞

∞

X

n=1

|xn|=kyk∞kxk_`1.

Weiter istJ(x) :c0 →Knatürlich linear, alsoJ(x)∈c⁰0. Die obige Ungleichung zeigt kJxk ≤ kxk_`1. Sei

α^N_n :=

(signxn, n≤N, 0, n > N.

Dann gilt α^N ∈c00,kα^Nk∞= 1 und

|J(x)(y)|=

m

X

n=1

|xnyn|=

m

X

n=1

|xn|.

Dies zeigt kxk<sub>`</sub>1 ≤ kJ(x)k, also ist J eine Isometrie (und deswegen auch injektiv). Wir zeigen nun die Surjektivität vonJ. Seiϕ∈c<sup>0</sup>0. Setzexi:=ϕ(δi), wobeiδi ∈c0 die Folge mit 1in der Koordinateiund Null sonst ist. Dann ist (x<sub>n</sub>)⊂`¹, da

N

X

n=1

|xn|=

N

X

n=1

xnα^N_n =ϕ(α^N)≤ kϕk.

Ferner gilt J(xn) =ϕ, denn aus der Definition folgt J(xn)(y) =ϕ(y) für alle y ∈c00. Da J stetig und c00

dicht in c0 ist, folgt J(x_n)(y) =ϕ(y) für alley∈C0, also die Surjektivität von J.

Satz: Seiy∈`<sup>1</sup> und das Funktionalϕy :`^∞→K gegeben durch

J :`¹→(c0)⁰, ϕ_y(x) :=

∞

X

n=1

x_ny_n, x∈`^∞.

So definiertJ(y) :=ϕ_y eine normerhaltende lineare AbildungJ :`<sup>1</sup> →(`^∞)⁰, die auch injektiv ist. Wir sagen

`<sup>1</sup> ⊆(`^∞)⁰.

Bemerkung: Es geben lineare Funktionale ϕ∈(`^∞)⁰ die nicht im Bild von J liegen!

6.2. Satz. SeiX ein normierter Vektorraum und X⁰ separabel. Dann istX auch separabel.

Beweis. Sei {ϕ1, ϕ2, . . .} eine dichte Menge in X⁰. Für jedes n ∈ N wähle xn ∈ X mit kxnk ≤ 1 und

|ϕ_n(x_n)| ≥ 1/2kϕ_nk. Definiere Y := lin{x_n : n ∈ N}. Seiϕ ∈ X⁰ mit ϕ = 0 auf Y. Wir zeigen nun, dass ϕ= 0 überall, dann folgt auch X=Y.

kϕ−ϕ_nk ≥ |(ϕ−ϕ_n)(x_n)|=|ϕ_n(x_n)| ≥1/2kϕ_nk ≥1/2kϕk −1/2kϕ−ϕ_nk, also ³₂kϕ−ϕnk ≥ ¹₂kϕk, d.h. kϕk= 0, da{ϕ¹, ϕ², . . .} dicht in X⁰ ist.

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§6. SCHWACHE KONVERGENZ 27

Bemerkung:

a) X separabel 6=⇒ X⁰ separabel (z.B.X =`<sup>1</sup>,X<sup>0</sup>'`^∞).

b) Ist X separabel, so existiertϕ¹, ϕ², . . . , ϕn, . . .∈X⁰, so dass für jedesx∈X kxk= sup

n∈N

|ϕ(x)| gilt.

c) c⁰0'`<sup>1</sup>,(`¹)⁰ '`<sup>∞</sup> und(`^∞)⁰ 6'`¹

6.3. Notation.

(a) Sei X ein normierter Vektorraum, X⁰ der Dualraum und X⁰⁰ := (X⁰)⁰ dessen Dualraum. Dann heißt X⁰⁰ derBidualraum vonX.

(b) Seix∈X. Betrachte die Abbildung:

ιX(x) :X⁰→K, ιX(x)(x⁰) :=x⁰(x).

Satz: Die AbbildungιX :X→X⁰⁰, ist eine lineare Isometrie. (Wir schreiben manchmal nurι, wenn es klar ist um welchen RaumX es gerade sich handelt.)

Beweis. Es ist klar, dassι_X(x)linear ist. Ferner istι_X(x)stetig, denn|x⁰(x)| ≤ kx⁰kkxk, d.h. kι_X(x)k ≤ kxk gilt. Somit istιX(x)∈X⁰⁰. Klar ist auch, dass ιX linear ist. Nach Korollar5.6folgt kιX(x)k=kxk.

Bemerkung:

(a) Die Abbildungι:X→X⁰⁰ heißt kanonische Abbildung von X in seinen Bidualraum.

(b) Im allgemeinen ist ι nicht surjektiv. [Betrachte zum Beispiel X =c⁰. Dann X⁰ '`<sup>1</sup>, X<sup>00</sup> '`^∞. Also kannιnicht surjektiv sein, denn c0 ist separabel und`^∞nicht.]

(c) X ein normierter Vektorraum =⇒ι(X) ist abgeschlossen inX⁰⁰. Wir bekommen daher:

[Vervollständigung eines normierten Vektorraums]

SeiX ein normierter Vektorraum. Dann istX isometrisch isomorph zu einem dichten Unterraum eines Banachraumes.

6.4. Definition. Ein BanachraumX heißtreflexiv, falls ι_X surjektiv ist.

Bemerkung:

a) Ein reflexiver Raum ist immer vollständig.

b) Falls X reflexiv ist, dann X'X⁰⁰. Die Umkehrung ist falsch wie gezeigt von James, 1951. D.h.X 'X⁰⁰ impliziert nicht die Surjektivität von ιX.

Satz: SeiX Banachraum.

(a) X reflexiv =⇒ Jeder abgeschlossene Unterraum vonX ist reflexiv.

(b) X reflexiv ⇐⇒X⁰ reflexiv.

(c) IstX reflexiv und separabel, so ist X⁰ auch separabel.

§6. SCHWACHE KONVERGENZ 28

Beweis. (a) SeiU ⊆X ein abgeschlossener Unterraum vonX. Für u⁰⁰ ∈U⁰⁰ seix⁰⁰(x⁰) :=u⁰⁰(x⁰U),x⁰∈X⁰. Dannx⁰⁰ ∈X⁰⁰, denn |u⁰⁰(x⁰_U)| ≤ ku⁰⁰kkx⁰k. Da X reflexiv ist, existiert einx ∈X mit x⁰(x) = u⁰⁰(x⁰_U) für alle x⁰ ∈X⁰.Behauptung: x∈U

Fallsx6∈U, so existiert, nach Korollar 5.6, einx⁰∈X⁰ mit x⁰(x) = 1und x⁰_U = 0. Das ist ein Widerspruch zu

1 =x⁰(x) =u⁰⁰(x⁰U) = 0.

Alsox∈U. Es bleibtu⁰⁰(u⁰) =u⁰(u)für alleu⁰ ∈U⁰ zu zeigen. Seiu⁰∈U⁰ undx⁰ ∈X⁰ eine Fortsetzung von u⁰ nach Hahn–Banach. Dann giltu⁰⁰(u⁰) =u⁰⁰(x⁰U) =x⁰(x) =u⁰(x), d.h. u⁰⁰=ιU(u) undU ist reflexiv.

(b) “⇒”: zu zeigen:ι_X⁰ :X⁰→X⁰⁰⁰ surjektiv. Seix⁰⁰⁰ ∈X⁰⁰⁰. Betrachtex⁰:X →K,x⁰(x) :=x⁰⁰⁰(ι_X(x)). Dann x⁰ ∈X⁰. DaX reflexiv ist, folgt, dass jedesx⁰⁰∈X⁰⁰die Formx⁰⁰=ιX(x)hat. Daherx⁰⁰⁰(x⁰⁰) =x⁰⁰⁰(ιX(x)) = x⁰(x) = (ι_X(x))(x⁰) =x⁰⁰(x). D.h. x⁰⁰⁰ =ι_X⁰(x⁰).

“⇐”: Annahme: X⁰ reflexiv. Dann ist nach dem obigen Beweis X⁰⁰ auch reflexiv. Da X isomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum von X⁰⁰ ist, folgt die Reflexivität vonX aus Teil a).

(c) X⁰⁰∼X, also istX⁰⁰ auch separabel. Somit istX⁰ separabel.

Beispiel:

(a) c0,c,`<sup>∞</sup> und`¹ sind nicht reflexiv.

Wir wissen, dassc0 nicht reflexiv ist. Also sind (c0)⁰ ∼`<sup>1</sup> und (c0)<sup>00</sup> ∼`^∞ auch nicht reflexiv. Wärec reflexiv, so wäre c0 als abgeschlossener Unterraum in c auch reflexiv.

(b) Endlichdimensionale Räume sind reflexiv.

(c) Produkte reflexiver Räume sind reflexiv.

(d) SeienX, Y Banachräume und T :X →Y ein Isomorphismus. DannX reflexiv ⇐⇒ Y reflexiv.

(e) Sei1< p <∞. Dann ist `^p reflexiv.

(f) Sei1< p <∞. Dann ist L^p(M, µ) reflexiv (später).

6.5. Definition. SeiX normierter Vektorraum.

(a) Eine Folge (xn)⊆X heißt schwach konvergent gegen einx∈X, falls

nlim→∞ϕ(x_n) =ϕ(x) ∀ϕ∈X⁰.

(b) Eine Menge M ⊆ X heißt schwach folgenkompakt, falls jede Folge in M eine schwach konvergente Teilfolge besitzt, deren Limes in M liegt.

Bemerkung:

(a) Da X⁰ die Punkte von X trennt, d.h. für x 6= y ∈ X existiert ein ϕ ∈ X⁰ mit ϕ(x) 6= ϕ(y), ist der schwache Limes eindeutig bestimmt. Schreibweise:

xn

→σ x, σ−lim

n→∞ xn=x.

(b) Normkonvergenz impliziert schwache Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht.

(c) x_n→^σ x inX, dannkxk ≤lim inf

n→∞ kx_nk(schwach Unterhalbstetigkeit einer Norm)

§6. SCHWACHE KONVERGENZ 29

(d) Sei(xn)⊂X mitxn

→σ x. Dann ist (xn)beschränkt.

Beweis. (a)-(b) Trivial.

(c) Es gilt

kxk= sup

ϕ∈X0 kϕk=1

|ϕ(x)|= sup

ϕ∈X0 kϕk=1

nlim→∞|ϕ(x_n)| ≤ sup

ϕ∈X0 kϕk=1

lim inf

n→∞ kϕk · kx_nk ≤lim inf

n→∞ kx_nk.

(d) später.

Korollar:

(a) Sei X ein normierter Vektorraum und M ⊆ X konvex und abgeschlossen. Ferner sei (xn) ⊆M eine schwach konvergente Folge, xn σ

→x∈X, d.h. für jedesϕ∈X⁰ gilt ϕ(xn)→ϕ(x). Dann liegtx inM. (Die Menge M heißtschwach folgenabgeschlossen.)

(b) [Lemma von Mazur]

Sei (xn) eine schwach konvergente Folge in einem normierten Vektorraum, xn

→σ x. Dann gilt x ∈ conv{xn: n∈N}.

Beweis. a) Verwende den Trennungssatz, fallsx6∈M wäre.

b) Folgt aus a).

6.6. Satz. Es seiX reflexiv. Dann ist die abgeschlossene EinheitskugelB_X(0,1)⊆Xschwach folgenkom- pakt.

Beweis. Sei x_n ∈ B_X(0,1) eine Folge. Betrachte Y := lin{x_n : n ∈ N}. Dann ist Y separabel und auch reflexiv nach Satz§6. Für jedesϕ∈Y⁰ ist ϕ(xn) beschränkt inK. Daraus folgt, dassϕ(xn)eine konvergente Teilfolge besitzt. Sei {ϕ_n: n∈N} eine dichte Teilmenge inY⁰. Dann hatϕ1(x_n) eine konvergente Teilfolge ϕ1(x¹_n). Durch Induktion erhalten wir eine Folge (x^k_n), so dass (x^k_n) ⊂(x^k_n⁻¹) und ϕk(x^k_n) für n→ ∞gegen α_k konvergiert. Dann konvergiertϕ_k(xⁿ_n) gegenα_k.

Beh.:ϕ(xⁿ_n) konvergiert füralle ϕ∈Y⁰.

Da{ϕ1, ϕ2, . . .} dicht inY⁰ ist, existiert für ε >0 eink∈Nmit kϕ−ϕ_kk ≤ε. Wähle nunn0 ∈Nmit

|ϕk(xⁿ_n)−ϕk(x^m_m)| ≤ε, n, m≥n⁰.

Dann gilt:

|ϕ(xⁿ_n)−ϕ(x^m_m)|=|ϕ(xⁿ_n)−ϕk(xⁿ_n)|+|ϕk(xⁿ_n)−ϕk(x^m_m)|+|ϕk(x^m_m)−ϕ(x^m_m)| ≤ε+ε+ε,

Also konvergiert ϕ(xⁿ_n). Wir bezeichnen den Limes mit α(ϕ). Dann gilt α∈Y⁰⁰=Y, denn die Linearität ist trivial und |ϕ(xⁿ_n)| ≤ kϕkkxⁿ_nk ≤ kϕk.

Es bleibt zu zeigen, dassϕ(xⁿ_n) für alleϕ∈X⁰ konvergiert, was ausϕ(xn) =ϕ|Y(xn) folgt.

Korollar: Sei X reflexiver Banachraum und (x_n)⊆X beschränkte Folge. Dann besitzt(x_n) eine schwach konvergente Teilfolge.