x) im gesamten Raum

P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 8¨

Abgabe Freitag 15.12 vor der Vorlesung – Besprechung im neuen Jahr

H24 - Magnetfeld von stromdurchflossenen Zylindern [2P]

Wir betrachten in dieser Aufgabe unendlich lange stromdurchflossene Zylinder und suchen die magnetische Induktion B(~~ x) im gesamten Raum.

a) Zun¨achst betrachten wir einen Kreiszylinder vom Radius R durch den ein ¨uber den Quer- schnitt homogener StromIin L¨angsrichtung~e_zfließt. Zeigen Sie, dass das FeldB~ im gesamten Raum die Form hat

B~ = µ₀I 2πR²

θ(R−ρ) + R²

ρ² θ(ρ−R)

(−y ~e_x+x ~e_y) ρ=p

x² +y²

b) Nun wollen wir das B-Feld eines stromdruchflossenen, asym-~ metrischen Hohlzylinders (vgl. Skizze) bestimmen. der eben- so von einem homogenen Strom der St¨arke I in z-Richtung durchflossen werde. Wie lautet das Feld im gesamten Raum?

Zeigen Sie ferner, dass im Hohlraum des Zylinders ein homo- genes Feld herrscht.

H25 - Magnetfeld einer rotierenden, geladenen Kugeloberfl¨ache [2P]

Eine Kugel vom Radiusatrage eine homogen ¨uber die Oberfl¨ache verteilte LadungQund rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine durch den Kugelmittelpunkt f¨uhrende Achse.

a) Dr¨ucken Sie die Ladungsdichte ρ(~x) und den Stromdichtevektor~j(~x) durch Deltafunktionen aus und zeigen Sie, dass die Beziehung ∇ ·~ ~j = 0 erf¨ullt ist, wir es also mit einem magneto- statischen Problem zu tun haben.

b) Bestimmen Sie das Vektorpotential A~ in der Coulomb-Eichung aus dem in der Vorlesung hergeleiteten Integral A(~~ x) =µ₀

Z

d³x⁰ ~j(~x⁰)

|~x−~x⁰|. Hierzu sollten Sie eine Darstellung der Form A(~~ x) = Q a µ₀

4π ~ω×I(~~ x), mit ~I(~x) = Z

dΩ⁰ ~e_r⁰

|~x−a~er⁰|,

finden, wobei dΩ⁰ =dϕ⁰dθ⁰ das Raumwinkelmaß der Kugeloberfl¨ache ist. Zur Integration von I~ empfiehlt es sich die Polarachse~e_z⁰ in Richtung von~x zu legen. F¨ur die dann verbleibende θ⁰-Integration empfiehlt sich ferner die Substitution ξ= cosθ⁰.

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c) Berechnen Sie dann die magnetische Induktion B(~~ x) im gesamten Raum und zeigen Sie ex- plizit, dass diese den Maxwellgleichungen der Magnetostatik

∇ ·~ B~ = 0, ∇ ×~ B~ =µ₀~j gen¨ugt.

H26 - Kleiner Hilfssatz [1P]

Zeigen Sie, dass f¨ur zwei differenzierbare Skalarfelderf,gaufR³und der divergenzfreien Stromst¨arke

~j der kleine Hilfsatz 0 =

Z d³xh

f(~x)~j(~x)·∇g(~~ x) +g(~x)~j(~x)·∇f~ (~x)i ,

gilt. Betrachten Sie hierzu div(f g~j) und nutzen Sie, dass~j im Unendlichen verschwindet.

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