x) im gesamten Raum R3 bestimmt werden

P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 9¨

Abgabe Freitag 6.1 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach

H27 - Weihnachtsmann vor Lebkuchen [2P]

Wir positionieren einen geladenen Weihnachtsmann W bei −a~e_x vor einem sehr großen Lebku- chen, der den Halbraumx >0 ausf¨ullt. In guter N¨aherung kann W als Punktladung qangenom- men werden. Der Lebkuchen sei dielektrisch mitr>1. Es soll das elektristatische Feld E(~~ x) im gesamten Raum R³ bestimmt werden.

a) Finden Sie E(~~ x) in den Bereichen x >0 und x < 0 durch die Bildladungsmethode. Machen Sie hierzu einen geeigneten Ansatz f¨ur das elektrische Feld in den beiden Bereichen durch Punkladungen entlang der x-Achse mit zun¨achst unbestimmten Parametern. Finden Sie die Parameter dann aus den in der Vorlesung besprochenen Stetigkeitsbedingungen f¨ur E⊥ und Dk an der Grenzfl¨ache!

b) Bestimmen Sie die auf der Grenzfl¨ache induzierte Ladungsdichte ρ_ind und die zugeh¨orige in- duzierte Ladung q_ind. Gehen Sie hierbei von der Beobachtung aus, dass aufgrund der lokalen Diplodichte lediglich eine Oberfl¨achenladung induziert wird, die aus dem Sprung des elektri- schen Feldes E⊥ an der Grenzfl¨ache bestimmt werden kann.

H28 - Magnetische Christbaumkugel [2P]

Magnetostatische Probleme, bei denen keine Leitungsstr¨ome~j(~x) vorhanden sind, gen¨ugen den makroskopischen Maxwellgleichungen

∇ ×~ H~ = 0, ∇ ·~ B~ = 0, H~ = 1 µ₀

B~ −M .~

Ist die Magnetisierung M~(~x) bekannt, so k¨onnen diese mit Hilfe eines effektives skalaren magne- tischen Potentialsφ_m, definiert durch

H(~~ x) = −∇φ~ _m,

beschrieben und gel¨ost werden.

a) Welcher Differentialgleichung gen¨ugt φ_m?

b) Geben Sie in integraler Form in Analogie zur Elektrostatik das Potential φ_m(~x) im gesamten Raum an, wenn eine lokalisierte Magentisierung M~(~x) vorgegeben ist!

c) Bestimmen Sie f¨ur eine homogen magnetisierte Christbaumkugel im Ursprung vom Radius a mit homogenener Magnetisierung M~₀ = M₀~e_zθ(a− |~x|) nun das effektive skalare magneto- statische Potential φ_m im gesamten Raum und leiten hieraus das Magnetfeld H~ im gesamten Raum her. Welche Eigenschaft haben H~ und B~ im Inneren der Kugel?

1

H29 - Vierervektoren und Tensoren [1P]

Zeigen Sie, dass f¨ur Vierervektoren A^µ, B^µ a) A_µB^µ ist Lorentz invariant

b) ∂_µA^µ := ^∂A_∂x^µ(x)µ ist Lorentz invariant

c) ∂_νA^µ:= ^∂A_∂x^µ(x)ν transformiert wie ein Vierertensor zweiter Stufe

d) Die Metrikη^µν und Kronecker-Delta δ_ν^µ haben in allen Inertialsystemen die gleichen Eintr¨age e) Der Levi-Civita Tensor^µνρσ ist in allen Inertialsystemen gleich

Wir w¨unschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und ein erfolgreiches und friedliches 2017!

2