Schwache Konvergenz

Schwache Konvergenz

Thomas Reitsam

LMU München

Zillertal am 13.12.2013

Wiederholung

• `

:= {x = (x

)

| x

∈ R

∞

P

n=1

|x

|

< ∞}

• hx, yi =

∞

P

n=1

x

y

kxk := p hx, xi

• `

ist ein Hilbertraum

• kf k := sup

x∈X

|f(x)|

kxk

X

:= BL(X , R ) = {f | f : X → R, linear, beschränkt/stetig}

heiÿt Dualraum von .

Rieszscher Darstellungssatz

Sei X ein Hilbertraum und f ∈ X

. Dann existiert genau ein y

∈ X , so dass gilt:

(i) f (x) = hy

, xi ∀x ∈ X (ii) kf k = ky

k

Beweisskizze: Sei f ∈ BL(X , R ) und f 6= 0 (sonst wähle y

= 0). Dann gilt:

ker (f ) ( X ⇒ (ker (f ))

) { 0 } , wähle x

∈ (ker (f ))

beliebig.

y

:=

kx₀k²

x

⇒ f (x ) = hy

, xi ∀x ∈ span(ker (f ), x

) X = span(ker (f ), x

) , denn: x = x − f (x)

f (x

) x

| {z }

∈ker(f)

+ f (x) f (x

) x

| {z }

∈ span(x₀)

Schwache Konvergenz

Denition: Eine Folge (x

)

⊂ X konvergiert schwach gegen x ∈ X genau dann, wenn

f (x

)

−→ f (x) ∀f ∈ X

Notation: x

−→ x

Sei X ein Hilbertraum, dann gilt nach dem Rieszschen Darstellungsatz für (x

)

⊂ X und x ∈ X :

x

−→

x ⇐⇒ hy, x

i

−→ hy, xi ∀y ∈ X

Der schwache Grenzwert ist eindeutig.

Schwacher Grenzwert

Beweis (für X Hilbertraum): Sei (x

)

⊂ X und x, y ∈ X Annahme: x

−→

x und x

−→

y

n→∞

lim hz, x

i =

lim hz , x

i z ∈ X

⇔ hz , xi = hz , y i

⇔ hz , x − yi = 0

Wähle z = x − y ∈ X ⇒ hx − y , x − yi = kx − yk

= 0

⇒ x = y

Beispiel

Sei x

= (x

)

:= (δ

)

(x

)

∈ `

, denn kx

k = 1 < ∞ ∀k ∈ N x

ist beschränkt, aber konvergiert nicht in Norm und besitzt keine konvergente Teilfolge

aber x

−→

0, denn:

k→∞

lim hy , x

i = lim

k→∞

∞

P

n=1

y

δ

= lim

k→∞

y

= 0 ∀y ∈ `

Separabilität

Denition: X heiÿt separabel, falls er eine abzählbare, dichte Teilmenge besitzt.

∃A ⊂ X abzählbar und A = X

⇒ ∀x ∈ X ∃(a

)

⊂ A s.d. a

−→

x A := {x ∈ `

| ∃N ∈ N s .d . x

= 0 ∀n ≥ N}

A ( `

, A ist abzählbar und A = `

⇒ `

ist separabel

Beweis

Sei x ∈ `

und (a

)

⊂ A kx − a

k

=

∞

P

n=1

|x

− a

|

=

∞

P

n=k

|x

|

∀ε > 0 ∃N ∈ N s.d. P

n=k

|x

|

< ε ∀k ≥ N, da P

n=1

|x

|

< ∞

⇒ a

−→

x ⇒ A = `

Banach-Alaoglu

Denition: M ⊂ X heiÿt schwach folgenkompakt, falls jede Folge in M eine schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M hat.

Satz von Banach-Alaoglu: M

:= {x ∈ `

| kxk ≤ c } ⊂ `

ist schwach folgenkompakt für alle c ∈ R.

Beweis: A := {x ∈ `

| ∃N ∈ N s.d .x

= 0 ∀n ≥ N}

Sei {a

}

= A und (y

)

⊂ M

Beweis(1/4)

|hy

, a

i| ≤ ky

kka

k ≤ c ka

k < ∞

(hy

, a

i)

ist beschränkte Folge in R ⇒ für festes i hat (hy

, a

i)

eine konvergente Teilfolge.

Behauptung: Es existiert eine gemeinsame Teilfolge (m

) ⊂ N, sodass (hy

, a

i)

für alle i ∈ N konvergiert.

Beweis: Cantor's Diagonaltrick: ∃(k

)

⊂ N s.d. (hy

, a

i)

konvergiert

∃(k

)

⊂ (k

)

s.d. (hy

, a

i)

konvergiert

...

Beweis(2/4)

(k

)

⊂ (k

)

∀n ∈ N

m

:= k

⇒ Die Teilfolge (m

)

erfüllt die gewünschte Eigenschaft.

f

(x) := (hy

, xi) ∀x ∈ `

und g (a) := lim

j→∞

f

(a) ∀a ∈ A

• g ist linear: g (αa + βb) = lim

j→∞

f

(αa + β b) =

j→∞

lim (αf

(a) + β f

(b)) = αg (a) + βg (b) a, b ∈ A, α, β ∈ R

• g ist beschränkt: |g(a)| = lim

j→∞

|f

(a)| ≤ ckak

⇒ g ∈ A

Beweis(3/4)

Setze g auf `

fort.

• G (a) := g (a) ∀a ∈ A

• G (x) := lim

k→∞

g (a

) , wobei x ∈ `

, (a

)

⊂ A und a

−→

x G ist linear, beschränkt und kG k = kg k

∃y ∈ `

mit G (x) = hy, xi ∀x ∈ `

Es gilt: hy

, ai

−→ hy,

ai ∀a ∈ A Zeige: y

−→

y

Beweis(4/4)

K := (ky k + sup

j∈N

ky

k

| {z }

≤c

)/ 2 < ∞

∀x ∈ `

∃a ∈ A s.d. kx − ak <

|hy

, xi−hy, xi| ≤ |hy

, xi−hy

, ai|+|hy

, ai−hy , ai|+|hy, ai−hy , xi|

≤ (kyk + sup

j∈N

ky

k)kx − ak +

< ε

⇒ y

−→

y

⇒ M

ist schwach Folgenkompakt