Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen

Definition 2.2

Eine Zahlenfolge{an}n=0,1,2,...konvergiert gegen den Grenzwert g= lim

n→∞an,

wenn es zu jedem vorgegebenenε >0einn0 ∈Ngibt, so dass für allen≥n0gilt:

|g−an|< ε.

g−ε g g+ε

Anders ausgedrückt ist eine Folge{an}n=0,1,2,...genau dann gegengkonvergent, wenn zu jedemε >0fast alle ihre Gliederan(d.h. alle außer endlich viele) in dem offenen Intervall(g−ε, g+ε)liegen.

Konvergenz von Folgen

Nullfolge:

- Eine Folge{an}n=0,1,2,..., für dielimn→∞an=0gilt.

Beispiel (ausnahmsweise direkte Anwendung Grenzwertdefinition):

- an=1/n, (mitn≥1) ist eine Nullfolge, - zuε >0wird die Forderung

|0−an|= 1 n

=n⁻¹< ε erreicht mit

n> ε⁻¹,

- also abn0=⌈ε⁻¹⌉+1, mit⌈·⌉dem Aufrunden auf die nächstgrößere ganze Zahl, gilt|g−an|< εfür allen≥n0.

Konvergenz von Folgen

Beispiel:

- für die Folge

bn = 2n n+1 giltlim_n→∞bn =2,

- denn fürε >0soll gelten 2− 2n

n+1

< ε ⇔ 2− 2n

n+1 < ε

⇔ 2n+2−2n< ε(n+1)

⇔ 2

ε −1<n,

- somit liegen fürn0=2/εsicher alle Folgenglieder mit allen≥n0dichter alsε >0 ang=2.

Konvergenz von Folgen

Definition 2.3

Eine Folge{an}n=0,1,2,...die nicht konvergiert wird divergent genannt.

Drei Typen von Divergenz:

- bestimmt divergent gegen∞, falls es zu jedemM>0einn0∈Ngibt, sodass an >M ∀n≥n0,

- bestimmt divergent gegen−∞, falls es zu jedemM>0einn0∈Ngibt, sodass an<−M ∀n≥n0,

- andernfalls unbestimmt divergent.

Konvergenz von Folgen

Grenzwertbestimmung mittels bekannter Grenzwerte als „Grundbausteine“ und Grenzwertsätzen.

Satz 2.4 (Grenzwertsätze)

Seiena= lim_n→∞anundb= lim_n→∞bn. Es gelten:

lim_n→∞(an±bn) =a±b, lim_n→∞(anbn) =ab, limn→∞a_n

b_n = ^a_b (bn6=0, b6=0)

Spezielle Grenzwerte (Grundbausteine):

lim_n→∞¹_n =0, lim_n→∞√ⁿ n=1, limn→∞aⁿ

n! =0, limn→∞(1+¹_n)ⁿ=e,

lim_n→∞(1+^p_n)ⁿ=e^p.

Konvergenz von Folgen

Beispiel 9 Bestimmung von

g= lim

n→∞

5n³−n+1 7n⁴+√

n+1 mittels Grenzwertsätze

g= lim

n→∞

5n³−n+1 7n⁴+√

n+1·n⁻³ n⁻³

= lim

n→∞

5−n⁻²+n⁻³ 7n+n^−5/2+n⁻³

= limn→∞5−n⁻²+n⁻³ limn→∞7n+n^−5/2+n⁻³

= 5−0+0

∞+0+0

=0.

Konvergenz von Folgen

Verhalten der geometischen Folgean=qⁿ: - Konvergenz für|q| ≤1, es gilt

nlim→∞aⁿ=

0 für|q|<1, 1 fürq=1 - bestimmte Divergenz fürq>1, es giltlimn→∞aⁿ=∞, - unbestimmte Divergenz fürq<−1.

Rekursive Folgen

Konstruktion rekursiver Folgen:

- Folgenglieder{an}n=0,1,2,...ergeben sich durch Festlegen der Anfangsglieder a0, . . . ,am₀und Angabe einer Vorschrift, wie sich aus den Vorgängern die Nachfolger bestimmen

an=f(n,an−1, . . . ,a0), n=m0+1,m0+2, . . . .

Einfache Beispiele:

- Fakultäten

a0=1, an=n·a_n−1, n=1,2,3, . . . , - Sparplan

a0=1000, an =1.008an−1+600, n=1,2,3, . . . , - Fibonacci-Zahlen

a1=1, a2=1, an+1=an+a_n−1, n=2,3,4, . . . .

Rekursive Folgen

Konstruktion rekursiver Folgen:

- Folgenglieder{an}n=0,1,2,...ergeben sich durch Festlegen der Anfangsglieder a0, . . . ,am₀und Angabe einer Vorschrift, wie sich aus den Vorgängern die Nachfolger bestimmen

an=f(n,an−1, . . . ,a0), n=m0+1,m0+2, . . . .

Einfache Beispiele:

- Fakultäten

a0=1, an=n·a_n−1, n=1,2,3, . . . , - Sparplan

a0=1000, an =1.008an−1+600, n=1,2,3, . . . , - Fibonacci-Zahlen

a1=1, a2=1, an+1=an+a_n−1, n=2,3,4, . . . .

Rekursive Folgen

Nachteil rekursiver Folgen:

- alle vorherigen Glieder müssen zur Berechnung vonanbekannt sein, - explizite Vorschrift wird i.d.R. bevorzugt,

- Umwandlung von rekursiv in explizit möglich, sofern rekursive Bildungsvorschrift linear mit konstanten Koeffizienten.

Fibonacci-Zahlen:

- Anfangsgliedera1=1,a2 =1, Bildungsvorschrift an+1=an+an−1, - a2=2, a3=3, a4=5, . . . , a10=55(noch einfach), - a40=102 334 155(Programmieren oder wunde Finger) - Umwandeln in explizite Formel lohnt sich!

Fibonacci-Zahlen

Beispiel 10 (Fibonacci-Zahlen)

Umwandeln vonan+1=an+an−1zua1=1,a2=1in explizite Bildungsvorschrift.

Lösung (Teil I):

- geometrischer Ansatz an=zⁿ,

- Einsetzen in die Rekursionsformel führt auf

an+1=an+a_n−1 ⇔ zⁿ⁺¹−zⁿ−zⁿ⁻¹ =0

⇔ zⁿ⁻¹(z²−z−1) =0

⇔ z²−z−1=0, - Lösungen der linearen Differenzengleichungz²−z−1=0sind

z1=1 2+√

5/2, z2= 1 2−√

5/2, - Bildungsvorschrift hat die Form

an=czⁿ₁+dzⁿ₂,

Fibonacci-Zahlen

Beispiel 10 (Fibonacci-Zahlen)

Umwandeln vonan+1=an+a_n−1zua1=1,a2=1in explizite Bildungsvorschrift.

Lösung (Teil II):

- Bestimmung voncunddmittels der Startwertea1=1unda2=1 an=czⁿ1+dzⁿ2

- lineares Gleichungssystem

a1=cz¹1+dz¹2 → 1=c(1 2+√

5/2) +d(1 2−√

5/2), a2=cz²₁+dz²₂ → 1=c(1

2+√

5/2)²+d(1 2−√

5/2)² führt auf c=√

5/5, d=−√5/5, - explizite Bildungsvorschrift lautet

an=

√5 5

1+√ 5 2

ⁿ

−

√5 5

1−√ 5 2

ⁿ .

Fibonacci-Zahlen

Bemerkungen:

- die Gleichung

z²−z−1=0 wird auch charakteristische Gleichung genannt,

- nach demselben Prinzip wird bei allen linearen Differenzengleichungen vorgegangen,

- Prinzip wird auch angewendet, wenn eine inhomogene Differenzengleichungen vorliegt (siehe später),

- Ordnung der charakteristischen Gleichung = Rekursionstiefe, - Rekursionstiefe = Anzahl gegebene Startwerte.

Fibonacci-Zahlen

Allgemeines Vorgehen (homogene Differenzengleichung):

an+k=αk−1an+k−1+. . .+α0an (Rekursionstiefek)

a1, a2, . . . ,ak (Anfangswerte)

1. Bestimmen der charakteristischen Gleichung λ^k−αk−1λ^k−1−α0=0, 2. Berechnen der Nullstellenλ1, . . . , λk

an=c1λⁿ1+. . .+ckλⁿk,

3. Berechnen der Koeffizientenc1, . . . ,ckmittels der Anfangswerte.

Fibonacci-Zahlen

Graphische Darstellung

- links: die ersten 8 Fibonacci-Zahlen,

- rechts: beide Summanden einzeln geplottet, der zweite 50-fach überhöht.

0 2 4 6 8

0 5 10 15 20

n

0 2 4 6 8

−10

−5 0 5 10 15 20

n

Fibonacci-Zahlen

Graphische Darstellung

- links: die ersten 8 Fibonacci-Zahlen,

- rechts: beide Summanden einzeln geplottet, der zweite 50-fach überhöht.

- zusätzlicher plot des Realteils zu

f(x) =

√5 5

1+√ 5 2

^x

−

√5 5

1−√ 5 2

^x .

0 2 4 6 8

0 5 10 15 20

n

0 2 4 6 8

−10

−5 0 5 10 15 20

n

Fibonacci-Zahlen

Tabellenkalkulation zur Rekursion

an+1=kan+lan−1, a1=1, a2=1.

Umwandlung für inhomogene Differenzengleichungen 1. Ordnung

Inhomogene Differenzengleichungen:

an+1=an

| {z }

homog. Diffgl. 1. Ord.

+p(n)

| {z }

inhomog. Teil

.

Umwandlung in explizite Form:

- zunächst allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung

¯

an löst an+1 =an,

- Berechnung einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung (p(n)sei Polynom vom Gradq)

ˆan=b0+b1n+. . .bkn^q, - allgemeine Lösung hat die Form

an= ¯an+ ˆan, - bestimmen der Koeffizienten in¯an.

Alte Klausuraufgabe

Alte Klausuraufgabe

Lösung (I):

- Rekursionsvorschrift

an=0.3a_n−1+200 (hier eine inhomogene Differenzengleichung),

- Startwerta1=200,

- einfaches Einsetzen führt auf

a2=260,a3=278,a4=283.4,a5=285.02, - erfolgreiche Kandidaten

b1=80, b2=104,b3=111.2, b4=113.36, b5=114.01.

Alte Klausuraufgabe

Lösung (II):

- Rekursionsvorschrift (inhomogene Differenzengleichung) an=0.3a_n−1+200, - zunächst nur homogene Differenzengleichung betrachten

an=zⁿ⇒zⁿ=0.3zⁿ⁻¹⇒z=0.3, - Lösung der inhomogenen Diff.-gl. hat die Forman=c0.3ⁿ+d, - Anfangswertea1=200,a2=260führen auf

an=−2000

7 0.3ⁿ+2000 7 ,

- somita3=278,a4=283.4,a5=285.02,limn→∞an=²⁰⁰⁰₇ =285.71.