1. Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift zu einer Folge (a n ) an, deren Glieder wie folgt lauten. Setzen Sie die Folge entsprechend dieser Bildungsvorschrift um drei Glieder fort.

Folgen und Reihen

Tutorien Höhere Mathematik I, WS 2012/13

1. Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift zu einer Folge (a n ) an, deren Glieder wie folgt lauten. Setzen Sie die Folge entsprechend dieser Bildungsvorschrift um drei Glieder fort.

(a) ³ ₂ , 1, ² ₃ , ⁴ ₉ , ₂₇ ⁸ , . . .

(b) −2, −5, −8, −11, −14, . . .

Handelt es sich bei der von Ihnen gefundenen Folge jeweils um eine arithmetische oder geometrische Folge? Wenn ja, bringen Sie die Bildungsvorschrift bitte in die Standardform aus der Vorlesung.

2. Zeigen Sie anhand der Grenzwertdefinition, dass (a _n ) mit a _n = _2n−1 ¹ eine Nullfolge ist. Wie groß ist n ₀ ∈ N mindestens zu wählen, dass |a _n | < 10 ⁻⁴ für n ≥ n ₀ gilt?

3. Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf.

den Grenzwert.

(a) a _n = ¹¹⁻ⁿ _n+2

²

, (b) a _n = ⁽ⁿ⁺¹⁾ _n

2

+1

²

, (c) a _n = _n

2

+3n+8 ⁿ⁻⁴ , (d) a _n = _(n+1)(n ⁿ

²

⁺¹²

2

+4) , (e) a _n = ³ⁿ _12n

⁵

⁺ⁿ

5

+23

³

⁻¹ .

4. Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf.

den Grenzwert.

(a) a _n = (−1) ^{n n} _5n

²2

⁺ⁿ⁺² +4n+3 , (b) a _n = (−1) ⁿ _5n

3

ⁿ +4n+3

²

⁺² , (c) a _n = ²

ⁿ

⁺⁽⁻²⁾ ₂

n ⁿ

, (d) a _n = ²

ⁿ

⁺⁽⁻²⁾ ₅

n ⁿ

, (e) a _n = ⁵

ⁿ

⁺⁽⁻⁵⁾ ₂

n ⁿ

.

5. Untersuchen Sie die Zahlenfolgen (a _n ) auf Monotonie, Beschränktheit und Konver- genz. Ermitteln Sie ggf. den Grenzwert.

(a) a _n = ⁿ⁺³ _n , (b) a _n = 1 + 2 ⁿ + (−2) ⁿ , (c) a ₁ = 1 und a _n = a n−1 + ¹ ₂ n

für n > 1.

6. Bestimmen Sie lim

n→∞ 2(1 + _n ¹ ) ⁿ + √

ⁿ

4n

. 7. Für welche x ∈ R \ {1} existiert lim

n→∞

x+1 x−1

n

, und was ist der entsprechende Wert?

8. Zeigen Sie z. B. mittels Induktion, dass für alle n ∈ N s _n =

n

X

k=1

1

k(k + 1) = n n + 1 gilt, und bestimmen Sie damit den Wert der Reihe

∞

P

k=1

1

k(k+1) .

9. Für die Partialsummenfolge (s _n ) einer Folge (a _k ) gelte s n = n + 1

2n + 1 .

Bestimmen Sie die Glieder a _k der Folge (a _k ) und sowie den Wert der Reihe

∞

P

k=1

a _k . 10. Berechnen Sie die Summen folgender Reihen:

(a)

∞

P

k=1 1

7

^k

, (b)

∞

P

k=1 2

^k

4

^2k+3

, (c)

∞

P

k=1 8

^k−1

3

^2k+1

. 11. Für welche a ∈ R konvergiert

∞

P

k=1

(−5)

^k+1

(2a)

^k

?

12. Untersuchen Sie folgende Reihen mittels Quotientenkriterium auf Konvergenz.

(a)

∞

P

k=1 k

2

^k

, (b)

∞

P

k=1 2k−2

3k+4 3 ^k , (c)

∞

P

k=1 1

√

3

k .

13. Untersuchen Sie folgende Reihen mittels Wurzelkriterium auf Konvergenz.

(a)

∞

P

k=1 1

k

^k

, (b)

∞

P

k=1 k+42 2k+7

k

.

14. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz. Verwenden Sie geeignete Kriterien.

(a)

∞

P

k=1 2k+7

5k , (b)

∞

P

k=1 k+1

2

^k

, (c)

∞

P

k=1 3k 7+

¹_k

, (d)

∞

P

k=1

(−1) ^k _(k+2) ⁵

2

, (e)

∞

P

k=1

(−1) ^k _k+1 ^k .

15. Untersuchen Sie folgende Reihen mittels Majoranten- oder Minorantenkriterium auf Konvergenz.

(a)

∞

P

k=1 1

4k

²

+k , (b)

∞

P

k=2 k+ √

k

k

³

−k , (c)

∞

P

k=1

( √ k − √

k − 1).