H¨aufungspunkte einer Folge
Eine Folge (an) hat den H¨aufungspunkta, wenn jedes Intervall (a−ε,a+ε), ε >0, unendlich viele Folgenelemente enth¨alt.
Aquivalent dazu ist die Existenz einer Teilfolge, die gegen¨ a konvergiert.
Insbesondere ist ein Grenzwert einer Folge auch ein H¨aufungspunkt.
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Beispiel Folge
sinn, n= 1,2, . . .
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -1
0 1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-1 0 1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-1 0 1
ann¨ahernde Gleichverteilung der Folgenelemente an: jeder Punkt in [−1,1] ist H¨aufungspunkt
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Beipiel
H¨aufungspunkte der Folge
an= nsin(nπ/2)
n+ sin(nπ/2), n= 1,2, . . .
konvergente Teilfolgen
bk = a2k = 0 2k
ck = a4k+1 = (4k+ 1) (4k+ 1) + 1 dk = a4k+3 = −(4k+ 3)
(4k+ 3)−1 H¨aufungspunkte
limbk = 0, limck = 1, limdk =−1
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