Grenzwert einer Folge

Grenzwert einer Folge Eine Folge

(an) =a1,a2, . . . konvergiert gegen einen Grenzwert a,

a= lim

n→∞an, wenn es zu jedem ε >0 ein n_ε gibt mit

|a_n−a|< ε f¨ur alle n >n_ε.

Man benutzt ebenfalls die Schreibweise a_n→af¨ur eine konvergente Folge.

Besitzt (a_n) keinen Grenzwert, so bezeichnet man die Folge als divergent.

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Beweis

Konvergenzkriterium in Quantorenschreibweise

∃a∀ε >0∃n_ε∀n>n_ε : |a−a_n|< ε

Negation (Vertauschung der Quantoren und Negation der Kernaussage)

∀a∃ε >0 [∀n_ε∃n >nε : |a_n−a| ≥ε] [. . .] ⇐⇒ f¨urnε= 1,2, . . . existiert eine Folge (a_n(nε)) mit

|a_n(nε)−a| ≥ε

⇐⇒ unendlich viele Folgenelemente liegen außerhalb von (a−ε,a+ε)

Beispiel

Vorgehensweise zum Nachweis des Konvergenz-Kriteriums

|a_n−a|< ε f¨ur n>n_ε

(i) Vereinfachung des Ausdrucks |a_n−a|durch Absch¨atzung nach oben:

|a_n−a| ≤f(n) mit einer m¨oglichst einfachen Funktionf (ii) Aufl¨osen der Ungleichungf(n)< εnach n:

n >g(ε) =nε

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konkretes Beispiel

an= n²+n

n²+ 1, Grenzwerta= 1 (i) Bestimmung einer Schranke f:

|a_n−a|=

n²+n n²+ 1−1

=

n−1 n²+ 1

≤ n

n²+ 1 < 1

n =f(n) (ii) Aufl¨osen der Ungleichungf(n)< ε:

1/n < ε ⇔ n>1/ε=g(ε) =nε