Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
Umgebung eines Punktesx: Menge, die x in ihrem Inneren enth¨alt Offene Menge enth¨alt f¨ur jeden Punkt auch eine Umgebung und damit keinen Randpunkt.
Abgeschlossene Menge enth¨alt f¨ur jede konvergente Folge auch deren Grenzwert und damit alle Randpunkte.
Rand einer Menge ∂D=D\
◦
D: Punkte, f¨ur die jede Umgebung sowohl die Menge als auch deren Komplement schneidet
Kompakte Menge beschr¨ankt und abgeschlossen, enth¨alt f¨ur jede Folge eine konvergente Teilfolge und deren Grenzwert
Multivariate Funktion f : Rn 3D→R Graph: {(x,f(x)) : x ∈D}
Niveaumengen:{x ∈D: f(x) =c}
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Multivariate Polynome p(x) =P
αaαxα,xα =x1α1· · ·xnαn totaler Grad ≤m:α1+· · ·+αn ≤m, Dimension
m+n n
maximaler Grad ≤m: maxα= maxkαk ≤m, Dimension (m+ 1)n homogen vom Grad m:p(sx) =smp(x), Dimension
m+n−1 n−1
Stetigkeit multivariater Funktionen
∀ε >0∃δ >0 : |x−a|< δ =⇒ |f(x)−f(a)|< ε
Gleichm¨aßig stetig:δ h¨angt nur von εund nicht vona ab Lipschitz-stetig:|f(x)−f(y)| ≤c|x −y|
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Extremwerte stetiger Funktionen D kompakt =⇒ f :D→R besitzt Minimum und Maximum
Konvergenz von Vektoren x1,x2, . . .→x∗ ⇐⇒
∀ε >0∃kε: |xk−x∗|< ε f¨urk >kε
¨
aquivalent: Konvergenz aller Komponenten der Folge
Cauchy-Kriterium f¨ur Vektoren Konvergenz einer Folgex1,x2, . . .
⇐⇒ ∀ε >0∃kε: |x`−xk|< ε f¨ur`,k >kε geometrische Konvergenz: |xk+1−xk| ≤c|xk−xk−1|mitc <1 Kontrahierende Abbildung
kg(x)−g(y)k ≤ckx−yk, c <1 Banachscher Fixpunktsatz
g :D→D =D, kg(x)−g(y)k ≤ckx −ykmitc <1
=⇒ ∃!x∗ =g(x∗)∈D.
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Partielle Ableitungen Ableitung nach der k-ten Variablen:
∂kf =fxk = ∂f
∂xk
mehrfache partielle Ableitungen: ∂αf =∂α11· · ·∂nαnf Partielle Ableitungen von multivariaten Polynomen
∂αxβ =∂1α1. . . ∂nαn
x1β1· · ·xnβn
=
0, α6≤β (β!/α!)xβ−α, α≤β mit (j,k, . . .)! =j!k!· · ·
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
f(x +h) =f(x) +f0(x)h+o(|h|), f0 = Jf =
∂1f1 · · · ∂nf1 ... ...
∂1f1 · · · ∂nfm
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Kettenregel und Richtungsableitung Multivariate Kettenregel
h(x1, . . . ,xn) =g(f(x)), h0(x) =g0(f(x)
|{z}
y
)f0(x), ∂hi
∂xk =X
j
∂gi
∂yj
∂fj
∂xk
Richtungsableitung
∂vf(x1, . . . ,xn) = lim
t→0
f(x +tv)−f(x)
t =
d
dtf(x +tv)
t=0
=f0(x)v
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Inverse und Implizite Funktionen
Umkehrfunktion detf0(x∗)6= 0 =⇒ lokale Existenz vong =f−1 undg0(f(x)) =f0(x)−1,x ≈x∗
Implizite Funktionen detfy(x∗,y∗)6= 0 =⇒
fk(x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn) = 0, k= 1, . . . ,n,
lokal nach y aufl¨osbar, d.h. y =g(x),x ≈x∗ und g0=−(fy)−1fx
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Anwendungen partieller Ableitungen
Tangente einer Kurve C : t 7→(f1(t), . . . ,fn(t))t im Punktf(t0):
g : f(t0) +f0(t0)(t−t0)
Tangentialebene E einer Fl¨acheS im Punktp Implizite Fl¨ache:S : f(x1, . . . ,xn) =c
E : 0 = (gradf(p))t(x −p) =
n
X
k=1
∂kf(p)(xk −pk)
Parametrisierte Fl¨ache: S : (s1, . . . ,sn−1)t7→(h1(s), . . . ,hn(s))t
E : p+
n−1
X
k=1
sk∂kh(p), sk ∈R
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Funktionsgraph:x 7→xn =g(x1, . . . ,xn−1),p= (q1, . . . ,qn−1,g(q))t
E : xn−g(q) =
n−1
X
k=1
∂kg(q)(xk−qk)
Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen
∆y =f(x + ∆x)−f(x) ≈ fx1(x)∆x1+· · ·+fxn(x)∆xn
∆y
|y| ≈ c1∆x1
|x1| +· · ·+cn∆xn
|xn|, ck = ∂y
∂xk
|xk|
|y|
Steilster Abstieg minimiert f(x1, . . . ,xn) Iterationsschritt:x →y =x +td mit
d =−gradf(x), f(y) = min
t≥0f(x +td) Newton-Verfahren l¨ost fk(x1, . . . ,xn) = 0, k = 1, . . . ,n Iterationsschritt:x →y =x + ∆ mitf0(x)∆ =−f(x)
D¨ampfung:y =x +λ∆x mitλ so, dasskf0(x)−1f(y)k ≤(1−λ/2)k∆k
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Taylor-Entwicklung
Multivariate Taylor-Approximation
f(x1, . . . ,xm) = X
α1+···+αm≤n
1
α1!· · ·αm!∂αf(a1, . . . ,am)(x −a)α+R
mitR =P
α1+···+αm=n+1 1
α1!···αm!∂αf( u
|{z}
∈[a,x]
)(x−a)α=O(|x −a|n+1)
Hesse-Matrix f(x + ∆x)≈f(x) + gradf(x)t∆x +12∆xtHf(x)∆x
Hf =
∂1∂1f · · · ∂1∂nf ... ...
∂n∂1f · · · ∂n∂nf
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Extremwerte
Kritischer Punkt gradf(x1, . . . ,xn) = (0, . . . ,0)t, Typbestimmung mit Hilfe der Eigenwerteλk der Hesse-Matrix
lokales Minimum (Maximum): λk >0 (<0);
detHf(x)>0 und SpurHf(x)>0 (<0) f¨ur bivariate Funktionen Sattelpunkt: λkλ` <0
detHf(x)<0 f¨ur bivariate Funktionen
Extrema multivariater Funktionen in Frage kommende Punkte x∗ im Definitionsbereich D:
Unstetigkeitsstellen der partiellen Ableitungen,
kritische Punkte, d.h. Punkte mit gradf(x∗) = (0, . . . ,0)t, Randpunkte von D.
hinreichend f¨ur ein lokales Minimum (Maximum): ausschließlich positive (negative) Eigenwerte der Hesse-Matrix Hf(x∗)
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Lagrange-Multiplikatoren f(x∗) extremal unter den Nebenbedingungen gk(x1, . . . ,xn) = 0 =⇒
gradf(x∗) =X
k
λkgradgk(x∗),
falls die Gradienten gradgk(x∗) linear unabh¨angig sind
Kuhn-Tucker-Bedingungen f(x∗) lokal minimal (maximal) auf D :gk(x1, . . . ,xn)≥0 =⇒
gradf(x∗) =X
k
λk gradgk(x∗), λk
|{z}
≥0 (≤0)
gk(x∗) = 0,
falls die Gradienten der aktiven Nebenbedinungen (gk(x∗) = 0) linear unabh¨angig sind
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