Primk¨orper F¨ur jede Primzahl p ist die Menge Z

(1)

Primk¨ orper

F¨ ur jede Primzahl p ist die Menge

Z p = {0, 1, . . . , p − 1}

ein K¨ orper unter der Addition und Multiplikation modulo p.

Allgemeiner existieren endliche K¨ orper mit p ^k Elementen f¨ ur jedes k ∈ N ,

die sogenannten Galois-K¨ orper. Dies sind die einzigen K¨ orper mit endlich

vielen Elementen.

(2)

Beweis

Rechenregeln f¨ ur Addition und Multiplikation in K¨ orpern gelten in den ganzen Zahlen

G¨ ultigkeit der Rechenregeln f¨ ur Z p

noch zu zeigen: Existenz eines inversen Elementes a ⁻¹ f¨ ur a ∈ {2, . . . , p − 1}

betrachte dazu die Folge

a ^k mod p, k = 0, . . . , p − 1 a ^k 6= 0 mod p ∀k ∈ N , denn

a ^k = np = ⇒ p teilt a ^k = ⇒

p Primzahl p teilt a = ⇒ Widerspruch zu a < p

= ⇒ mindestens ein Rest tritt zweimal auf:

a ^k

¹

= a ^k

²

mod p, k ₁ < k ₂

a ^k

¹

a ^k

²

^−k

¹

= a ^k

¹

= ⇒

(3)

Beispiel

Inverse Elemente im Primk¨ orper Z 5

2 ⁻¹ mod 5 = 3, 3 ⁻¹ mod 5 = 2, 4 ⁻¹ mod 5 = 4 Uberpr¨ ¨ ufung durch Multiplikation, z.B.

2 · 2 ⁻¹ mod 5 = 2 · 3 mod 5 = 6 mod 5 = 1 X Illustration anhand des Distributivgesetzes

(2 + 4) · 3 ⁻¹ mod 5 = 6 · 2 mod 5

= 12 mod 5 = 2 2 · 3 ⁻¹ + 4 · 3 ⁻¹ mod 5 = 2 · 2 + 4 · 2 mod 5

= 4 + 8 mod 5 = 12 mod 5 = 2

(4)

Beispiel

Paarungstabellen f¨ ur Sportturniere

In Stuttgart, M¨ unchen und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9 Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll

” jeder gegen jeden“ spielen.

Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden, die jeweils in einer der St¨ adte ihre Spiele untereinander austragen.

Mathematische Formulierung:

S _0,k ∪ S _1,k ∪ S _2,k = {1, . . . , 9}, k = 0, . . . , 3 ,

| S j,k ∩ S j

⁰

,k

⁰

|≤ 1,

mit drei-elementigen Mengen S _j _,k , die jeweils der Dreiergruppe in der

Stadt j am Termin k entsprechen. Die Bedingung an den Durchschnitt

besagt, dass kein Mannschaftspaar doppelt vorkommt.

(5)

Konstruktion mit Hilfe des Primk¨ orpers Z 3 = {0, 1, 2}:

Identifikation der Mannschaften mit Punkten der Ebene Z ² 3 , d.h.

{1, 2, ..., 9} ↔ {(x, y) : x, y ∈ Z 3 } und der Mengen S _j _,k mit den Geraden in Z 3

S _j _,k = {(x, k · x + j mod 3) : x = 0, 1, 2}, ( Steigung k = 0, 1, 2) S _j,3 = {(j , y ) : y = 0, 1, 2} ( senkrechte Geraden )

Durchschnittsbedingung trivialerweise erf¨ ullt: Geraden schneiden sich in

h¨ ochstens einem Punkt

(6)

Paarungstabelle f¨ ur 16 Mannschaften, 4 St¨ adte und 5 Termine basierend auf 4-elementigen Galois-K¨ orper GF[2 ² ]

Spielort 1 Spielort 2 Spielort 3 Spielort 4 1. Spieltag 1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 13,14,15,16 2. Spieltag 1,6,11,16 5,2,15,12 9,14,3,8 13,10,7,4 3. Spieltag 1,10,15,8 5,14,11,4 9,2,7,16 13,6,3,12 4. Spieltag 1,14,7,12 5,10,3,16 9,6,15,4 13,2,11,8 5. Spieltag 1,5,9,13 2,6,10,14 3,7,11,15 4,8,12,16 Galois-K¨ orper GF [q] mit q einer Primzahlpotenz

Primk¨orper F¨ur jede Primzahl p ist die Menge Z

Primk¨ orper

F¨ ur jede Primzahl p ist die Menge

Z p = {0, 1, . . . , p − 1}

ein K¨ orper unter der Addition und Multiplikation modulo p.

Allgemeiner existieren endliche K¨ orper mit p k Elementen f¨ ur jedes k ∈ N ,

die sogenannten Galois-K¨ orper. Dies sind die einzigen K¨ orper mit endlich

vielen Elementen.

Beweis

Rechenregeln f¨ ur Addition und Multiplikation in K¨ orpern gelten in den ganzen Zahlen

G¨ ultigkeit der Rechenregeln f¨ ur Z p

noch zu zeigen: Existenz eines inversen Elementes a −1 f¨ ur a ∈ {2, . . . , p − 1}

betrachte dazu die Folge

a k mod p, k = 0, . . . , p − 1 a k 6= 0 mod p ∀k ∈ N , denn

a k = np = ⇒ p teilt a k = ⇒

p Primzahl p teilt a = ⇒ Widerspruch zu a < p

= ⇒ mindestens ein Rest tritt zweimal auf:

a k

= a k

mod p, k 1 < k 2

a k

a k

−k

= a k

= ⇒

Beispiel

Inverse Elemente im Primk¨ orper Z 5

2 −1 mod 5 = 3, 3 −1 mod 5 = 2, 4 −1 mod 5 = 4 Uberpr¨ ¨ ufung durch Multiplikation, z.B.

2 · 2 −1 mod 5 = 2 · 3 mod 5 = 6 mod 5 = 1 X Illustration anhand des Distributivgesetzes

(2 + 4) · 3 −1 mod 5 = 6 · 2 mod 5

= 12 mod 5 = 2 2 · 3 −1 + 4 · 3 −1 mod 5 = 2 · 2 + 4 · 2 mod 5

= 4 + 8 mod 5 = 12 mod 5 = 2

Beispiel

Paarungstabellen f¨ ur Sportturniere

In Stuttgart, M¨ unchen und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9 Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll

” jeder gegen jeden“ spielen.

Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden, die jeweils in einer der St¨ adte ihre Spiele untereinander austragen.

Mathematische Formulierung:

S 0,k ∪ S 1,k ∪ S 2,k = {1, . . . , 9}, k = 0, . . . , 3 ,

| S j,k ∩ S j

,k

|≤ 1,

mit drei-elementigen Mengen S j ,k , die jeweils der Dreiergruppe in der

Stadt j am Termin k entsprechen. Die Bedingung an den Durchschnitt

besagt, dass kein Mannschaftspaar doppelt vorkommt.

Konstruktion mit Hilfe des Primk¨ orpers Z 3 = {0, 1, 2}:

Identifikation der Mannschaften mit Punkten der Ebene Z 2 3 , d.h.

{1, 2, ..., 9} ↔ {(x, y) : x, y ∈ Z 3 } und der Mengen S j ,k mit den Geraden in Z 3

S j ,k = {(x, k · x + j mod 3) : x = 0, 1, 2}, ( Steigung k = 0, 1, 2) S j,3 = {(j , y ) : y = 0, 1, 2} ( senkrechte Geraden )

Durchschnittsbedingung trivialerweise erf¨ ullt: Geraden schneiden sich in

h¨ ochstens einem Punkt

Paarungstabelle f¨ ur 16 Mannschaften, 4 St¨ adte und 5 Termine basierend auf 4-elementigen Galois-K¨ orper GF[2 2 ]

Paarungstabelle f¨ ur q 2 Mannschaften und q St¨ adte

Allgemeiner existieren endliche K¨ orper mit p ^k Elementen f¨ ur jedes k ∈ N ,

noch zu zeigen: Existenz eines inversen Elementes a ⁻¹ f¨ ur a ∈ {2, . . . , p − 1}

a ^k mod p, k = 0, . . . , p − 1 a ^k 6= 0 mod p ∀k ∈ N , denn

a ^k = np = ⇒ p teilt a ^k = ⇒

a ^k

= a ^k

mod p, k ₁ < k ₂

a ^k

a ^k

^−k

= a ^k

2 ⁻¹ mod 5 = 3, 3 ⁻¹ mod 5 = 2, 4 ⁻¹ mod 5 = 4 Uberpr¨ ¨ ufung durch Multiplikation, z.B.

2 · 2 ⁻¹ mod 5 = 2 · 3 mod 5 = 6 mod 5 = 1 X Illustration anhand des Distributivgesetzes

(2 + 4) · 3 ⁻¹ mod 5 = 6 · 2 mod 5

= 12 mod 5 = 2 2 · 3 ⁻¹ + 4 · 3 ⁻¹ mod 5 = 2 · 2 + 4 · 2 mod 5

S _0,k ∪ S _1,k ∪ S _2,k = {1, . . . , 9}, k = 0, . . . , 3 ,

mit drei-elementigen Mengen S _j _,k , die jeweils der Dreiergruppe in der

Identifikation der Mannschaften mit Punkten der Ebene Z ² 3 , d.h.

{1, 2, ..., 9} ↔ {(x, y) : x, y ∈ Z 3 } und der Mengen S _j _,k mit den Geraden in Z 3

S _j _,k = {(x, k · x + j mod 3) : x = 0, 1, 2}, ( Steigung k = 0, 1, 2) S _j,3 = {(j , y ) : y = 0, 1, 2} ( senkrechte Geraden )

Paarungstabelle f¨ ur 16 Mannschaften, 4 St¨ adte und 5 Termine basierend auf 4-elementigen Galois-K¨ orper GF[2 ² ]

Paarungstabelle f¨ ur q ² Mannschaften und q St¨ adte