Limes Inferior und Limes Superior
F¨ ur jede Folge (a n ) existieren, gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn, die Grenzwerte
lim inf
n→∞ a n = lim
n→∞ a n , a n = inf
k≥n a k , lim sup
n→∞
a n = lim
n→∞ a n , a n = sup
k≥n
a k .
Man benutzt ebenfalls die Schreibweisen lim inf = lim bzw. lim sup = lim.
Wie in der Abbildung illustriert ist, wird die Folge (a n ) (Punkte) durch die monotonen Folgen (a n ) und (a n ) (Kreise) eingeschlossen:
a n ≤ a n ≤ a n .
Stimmen Limes Inferior und Limes Superior ¨ uberein, so konvergiert die Folge (a n ) und
lim
n→∞ a n = lim
n→∞ a n = lim sup
n→∞ a n .
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Beiweis
(i) Existenz von lim und lim:
monotone Konvergenz von a n = inf
k≥n a k , a n = sup
k≥n
a k
(ii) Konvergenz bei ¨ Ubereinstimmung von lim und lim:
Endlicher gemeinsamer Grenzwert
lima n = lim a n = a = lim a n = lima n .
Definition eines Grenzwerts, Monotonie der Folgen a n , a n = ⇒ a − ε < a n ≤ a, n > n ε
a ≤ a n ≤ a + ε, n > n ε
a n ≤ a n ≤ a n = ⇒
a − ε < a n < a + ε
f¨ ur n > max(n ε , n ε ), d.h. die Konvergenz von a n gegen a.
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Uneigentlicher gemeinsamer Grenwert: lima n = lima n = ∞ Definition des Limes Inferior = ⇒ Konvergenz der monoton wachsenden Folge a n = inf m≥n a m , n = 1, 2, . . ., gegen ∞, d.h.
∀a ∃n a : a n > a f¨ ur n > n a , insbesondere a na+1 = inf m≥n
a+1 a m > a
= ⇒ a m > a f¨ ur m > n a und damit folgt die G¨ ultigkeit des Kriteriums f¨ ur die Konvergenz der Folge (a n ) gegen ∞
analoge Argumentation f¨ ur den uneigentlichen Grenzwert −∞
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