Dieses Skript enth¨ alt nur den “roten Faden”

Verbandstheorie

Udo Hebisch

SS 2020

Dieses Skript enth¨ alt nur den “roten Faden”

einer einf¨ uhrenden Vorlesung ¨ uber Verbandstheorie.

Zur selben Vorlesung geh¨ ort noch ein Teil zur Universellen Algebra.

Wesentliche Inhalte werden ausschließlich in der Vorlesung vermittelt. Daher ist dieses Skript nicht zum Selbststudium gedacht, sondern

nur als “Erinnerungsst¨ utze”.

Inhaltsverzeichnis

1 Boolesche Algebren 3

2 Verb¨ ande und Halbverb¨ ande 11

3 Partiell geordnete Mengen 20

4 Wohlgeordnete Mengen 27

5 Vollst¨ andigkeit 31

6 Homomorphismen und Galois-Korrespondenzen 33

7 Fixpunkts¨ atze 38

8 Begriffsverb¨ ande 42

9 Informationsstrukturen 56

10 Heyting-Algebren 59

11 Aufgaben 64

12 L¨ osung zu ausgew¨ ahlten Aufgaben 72

1 BOOLESCHE ALGEBREN

1 Boolesche Algebren

Diese mathematischen

Strukturen

sind nach George Boole (1815 – 1864) be- nannt, der ihre Gesetzm¨ aßigkeiten bei der Untersuchung aussagenlogischer

For- meln

feststellte.

Definition 1.1 Es sei X eine beliebige nichtleere Menge und n ∈

. Eine n- stellige (innere) Verkn¨ upfung oder Operation

auf X ist dann eine Abbildung v : X

→ X. Im Fall n = 2 notiert

man das Verkn¨ upfungsergebnis v(x, y) f¨ ur x, y ∈ X im allgemeinen in Infix-Notation

als xvy. Bei n = 0 bezeichnet v ∈ X einfach ein (besonders ausgezeichnetes) Element aus X.

Beispiel 1.2 Betrachtet man f¨ ur eine beliebige Menge M auf der Potenzmen- ge

(M ) die zweistelligen mengentheoretischen Verkn¨ upfungen ∪ (Vereinigung),

∩ (Durchschnitt) und die einstellige Verkn¨ upfung

(Komplementbildung)

, dann gelten z. B. f¨ ur alle X, Y, Z aus

(M) die folgenden Gesetze:

X ∩ X = X (∩ ist idempotent),

X ∪ X = X (∪ ist idempotent),

(lat. idem = dasselbe) X ∩ Y = Y ∩ X (∩ ist kommutativ), X ∪ Y = Y ∪ X (∪ ist kommutativ),

(lat. commutare = vertauschen) X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z (∩ ist assoziativ),

X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z (∪ ist assoziativ),

(lat. associare = verbinden) X ∩ (X ∪ Y ) = X (∩ ist absorptiv gegen¨ uber ∪), X ∪ (X ∩ Y ) = X (∪ ist absorptiv gegen¨ uber ∩), (lat. absorbere = verschlingen)

1(grch.mathematike techne= Kunst des Lernens)

2(lat. struere= bauen, errichten)

3(grch.logos = Wort, Lehrsatz, Lehre)

4(lat. formula= Regel, Vorschrift)

5(lat. operatio= T¨atigkeit)

6(lat. notare= kennzeichnen, bezeichnen)

7(lat. figere= anheften)

8(lat. potens= m¨achtig, f¨ahig)

9(lat. complere= erg¨anzen)

X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) (∩ ist distributiv ¨ uber ∪), X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) (∪ ist distributiv ¨ uber ∩),

(lat. distribuere = verteilen)

X ∩ M = X (M ist neutral bez¨ uglich ∩),

(lat. neuter = keiner von beiden) X ∪ M = M (M ist absorbierend bez¨ uglich ∪), X ∩ ∅ = ∅ (∅ ist absorbierend bez¨ uglich ∩), X ∪ ∅ = X (∅ ist neutral bez¨ uglich ∪), X ∪ X

= M (X

ist ∪-Komplement von X), X ∩ X

= ∅ (X

ist ∩-Komplement von X).

Definition 1.3 Eine Boolesche Algebra

B = (X, ∧, ∨,

, o, e) besteht aus ei- ner (nichtleeren) Menge X, zwei ausgezeichneten Elementen, dem Nullelement

o ∈ X und dem Einselement e ∈ X, einer einstelligen Verkn¨ upfung Komple- mentbildung

und zwei zweistelligen Verkn¨ upfungen, der Infimumsbildung

∧ und der Supremumsbildung

∨. Dabei m¨ ussen f¨ ur alle x, y, z ∈ X folgende Axio- me

erf¨ ullt sein:

x ∧ y = y ∧ x, (1)

x ∨ y = y ∨ x, (2)

x ∨ o = x, (3)

x ∧ e = x, (4)

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), (5)

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z), (6)

x ∨ x

= e, (7)

x ∧ x

= o.

(8)

Bemerkung 1.4 a) Nach Beispiel 1.2 ist jede Potenzmenge eine Boolesche Al- gebra. Die Umkehrung hiervon gilt nicht, vgl. Satz 1.16 und Satz 3.21.

10(arab. al-gabr= das Erg¨anzen)

11(lat. nullus= keines)

12(lat. infimum= unterstes, niedrigstes)

13(lat. supremum= oberstes, h¨ochstes)

14(grch.axioma= unbestreitbare, aber unbeweisbare Aussage)

1 BOOLESCHE ALGEBREN

b) Jede (in der Maßtheorie definierte) σ-Algebra ist eine Boolesche Algebra. Auch hierunter gibt es Beispiele (vgl. Bemerkung 1.17 b)), die keine Potenzmengen sind.

c) Das Axiomensystem ist selbstdual (lat. duum = zwei), genauer: Je zwei in einem Paar zusammengefaßten Axiome gehen ineinander ¨ uber, wenn man Infi- mums- und Supremumsbildung und gleichzeitig o und e miteinander vertauscht.

d) Das angegebene Axiomensystem f¨ ur Boolesche Algebren ist unter den selbst- dualen Axiomensystemen minimal (lat. minimum = das kleinste), d. h., l¨ aßt man eins der Paare (1), (2) bis (7), (8) fort, so gibt es Algebren, die alle restlichen Axiome erf¨ ullen, aber das fortgelassene Axiomenpaar nicht, vgl. auch Beispiel 1.7.

e) Es folgt aber jedes der Axiome (1) bis (4) jeweils aus den anderen sieben Axiomen.

f) Das angegebene Axiomensystem f¨ ur Boolesche Algebren stammt von Edward Vermilye Huntington (1874 - 1952), w¨ ahrend Giuseppe Peano (1858 - 1932) im Jahr 1888 noch ein System benutzt hatte, das aus s¨ amtlichen Axiomen (1) - (21) bestand.

Satz 1.5 In jeder Booleschen Algebra B = (X, ∧, ∨,

, o, e) gelten die folgenden Gesetze f¨ ur alle x, y, z ∈ X:

x ∧ x = x, (9)

x ∨ x = x, (10)

x ∧ o = o, (11)

x ∨ e = e, (12)

x ∧ (x ∨ y) = x, (13)

x ∨ (x ∧ y) = x, (14)

x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, (15)

x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, (16)

(x

)

= x, (17)

o

= e, (18)

e

= o,

(19)

(x ∧ y)

= x

∨ y

, (20)

(x ∨ y)

= x

∧ y

. (21)

Beweis: (9): Benutzt man der Reihe nach (4), (7), (6), (8) und (3), so erh¨ alt man x = x ∧ e = x ∧ (x ∨ x

) = (x ∧ x) ∨ (x ∧ x

) = (x ∧ x) ∨ o = x ∧ x. Dabei wurden (1) und (2) nicht ben¨ otigt.

Durch “Dualisieren” erh¨ alt man hieraus sofort den Beweis von (10): x = x ∨ o = x ∨ (x ∧ x

) = (x ∨ x) ∧ (x ∨ x

) = (x ∨ x) ∧ e = x ∨ x. Dabei werden die einzelnen Schritte durch das jeweils duale Axiom gerechtfertigt, also durch (3), (8), (5), (7) und (4).

(11): Aus (8), (3), (5), (8), (2) und (3) folgt o = x ∧ x

= x ∧ (x

∨ o) = (x ∧ x

) ∨ (x ∧ o) = o ∨ (x ∧ o) = (x ∧ o) ∨ o = x ∧ o.

(13): Aus (3), (11), (6), (3) und (1) folgt x = x∨o = x∨ (y ∧o) = (x∨y)∧(x∨o) = (x ∨ y) ∧ x = x ∧ (x ∨ y).

(15): Aus (6), (14), (13) und nochmals (14) folgt zun¨ achst x ∨ ((x ∧ y) ∧ z) = (x ∨ (x ∧ y)) ∧ (x ∨ z) = x ∧ (x ∨ z) = x = x ∨ (x ∧ (y ∧ z)).

Andererseits folgt unter mehrmaliger Verwendung der Distributivgesetze und x

∨ x = e sowie den Eigenschaften von e auch x

∨((x∧y)∧z) = (x

∨(x∧y))∧(x

∨z) = ((x

∨x)∧(x

∨y))∧(x

∨z) = (x

∨y)∧(x

∨z) = x

∨(y∧z) = (x

∨x)∧(x

∨(y∧z)) = x

∨ (x ∧ (y ∧ z)).

Aus x ∨ a = x ∨ b und x

∨ a = x

∨ b folgt aber mit der Kommutativit¨ at, den Distributivgesetzen, x ∧ x

= o und den Eigenschaften von o stets a = o ∨ a = (x ∧ x

) ∨ a = (x ∨ a) ∧ (x

∨ a) = (x ∨ b) ∧ (x

∨ b) = (x ∧ x

) ∨ b = o ∨ b = b.

(17): Aus (6), (8) und (3) folgt zun¨ achst (x ∨ y) ∧ (x ∨ y

) = x ∨ (y ∧ y

) = x ∨ o = x. Mit (2) erh¨ alt man hieraus durch Vertauschung von x und y auch (x ∨ y) ∧ (y ∨ x

) = y. Setzt man in der ersten dieser beiden Gleichungen y = x

, so ergibt sich (x∨x

)∧(x∨(x

)

) = x, woraus mit (7), (1) und (4) dann x∨(x

)

= x folgt. Setzt man jetzt in der zweiten hergeleiteten Gleichung y = (x

)

, so erh¨ alt man (x ∨ (x

)

) ∧ ((x

)

∨ x

) = (x

)

und daher (x

)

= x ∧ e = x, wobei noch (2), (7) und (4) verwendet wurden.

(18): Wegen (3), (2) und (7) gilt o

= o

∨ o = o ∨ o

= e. Dabei wurden (5) und (6) nicht gebraucht.

(20): Einerseits gilt (x ∧ y) ∧ (x

∨ y

) = (x ∧ y ∧ x

) = ∨(x ∧ y ∧ y

) = o ∨ o = o =

(x∧y)∧(x∧y)

, andererseits gilt auch (x∧y)∨(x

∨y

) = (x∨x

∨y

)∧(y∨x

∨y

) =

1 BOOLESCHE ALGEBREN

e ∧ e = e = (x ∧ y) ∨ (x ∧ y)

. Wie in Folgerung 2.2 gezeigt werden wird, folgt hieraus bereits in distributiven Verb¨ anden die Gleichheit (x ∧ y)

= x

∨ y

.

Bemerkung 1.6 Die Formeln (20) und (21) werden auch De Morgansche Ge- setze (Augustus De Morgan, 1806 - 1871) genannt. Zusammen mit (17) zeigen sie, daß in einer Booleschen Algebra jede der beiden zweistelligen Verkn¨ upfungen zusammen mit der Komplementbildung die andere zweistellige Verkn¨ upfung be- reits eindeutig bestimmt. Es ist daher m¨ oglich, Boolesche Algebren auch durch Axiomensysteme zu charakterisieren, in denen nur eine zweistellige Verkn¨ upfung, z. B. ∨, und eine einstellige Verkn¨ upfung, z. B.

, auftreten. Ein solches System besteht zum Beispiel aus den Axiomen x ∨ y = y ∨ x, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z und (x

∨ y

)

∨ (x

∨ y)

= x oder aus den ersten beiden und ((x ∨ y)

∨ (x ∨ y

)

)

= x.

Die beiden letzten Gleichungen sind in jeder Booleschen Algebra wegen der De Morganschen Gesetze gleichwertig zu (x∧y)∨(x∧y

) = x und zu (x∨y)∧(x∨y

) = x, also offensichtlich dual zueinander. Beide folgen sie aber unmittelbar aus den Distributivgesetzen, den Eigenschaften des Komplements und den Eigenschaften der neutralen Elemente. Es ist jedoch erheblich schwieriger, die Umkehrung zu zeigen.

Beispiel 1.7 Es bezeichne

= [0, 1] ⊆

das reelle Einheitsinvervall und N :

I

→

die gem¨ aß N (x) = 1 − x f¨ ur x ∈

definierte Bijektion (lat. bis = zweimal, iecere = werfen). Weiterhin sei ∅ 6= W ⊆

eine beliebige Teilmenge von

mit 0, 1 ∈ W und N (W ) = W , also etwa W = {0, 1}, W =

0,

, . . . ,

, 1

oder W =

. F¨ ur eine beliebige nichtleere Menge M sei X = {µ

: M → W } die Menge aller verallgemeinerten charakteristischen Funktionen (grch. charakter = Pr¨ agung). (F¨ ur W = {0, 1} charakterisiert eine solche Funktion µ

∈ X gem¨ aß µ

(x) = 1 ⇐⇒ x ∈ A genau eine Teilmenge A von M.) F¨ ur W =

nennt man die Elemente µ

auch Fuzzy-Teilmengen von M ) (engl. fuzzy = unscharf). Durch

(µ

∧ µ

)(x) = min(µ

(x), µ

(x)), (22)

(µ

∨ µ

)(x) = max(µ

(x), µ

(x)) und (23)

(µ

)

(x) = N (µ

(x)) = 1 − µ

(x) (24)

f¨ ur alle x ∈ M werden dann zwei zweistellige Verkn¨ upfungen ∧ und ∨ und eine einstellige Verkn¨ upfung

auf X definiert. Setzt man noch e = µ

bzw. o = µ

f¨ ur die charakteristischen Funktionen der ganzen Menge M bzw. der leeren Menge ∅, so sind (1) – (21) mit Ausnahme von (7) und (8) erf¨ ullt.

Bemerkung 1.8 In der Fuzzy-Mengenlehre werden auch andere Durchschnitts-

bzw. Vereinigungsbildungen f¨ ur Fuzzy-Mengen betrachtet, z. B. (µ

∧ µ

)(x) =

µ

(x) · µ

(x) und (µ

∨ µ

)(x) = µ

(x) + µ

(x) − µ

(x) · µ

(x).

Definition 1.9 Ein Ring R = (X, +, ·) mit Einselement e heißt Boolescher Ring, wenn x

= x f¨ ur alle x ∈ X erf¨ ullt ist.

Folgerung 1.10 In jedem Booleschen Ring R = (X, +, ·) gelten x + x = o und x · y = y · x f¨ ur alle x, y ∈ X.

Beweis: Aufgabe 11.7.

Bemerkung 1.11 Wegen Folgerung 1.10 bildet in jedem Booleschen Ring R = (X, +, ·) die Menge K = {o, e} einen Unterk¨ orper (K, +, ·), der nat¨ urlich iso- morph (grch. iso = gleich, morphe = Gestalt) zu

/(2) ist. Insbesondere ist R stets ein K-Vektorraum (lat. vehere = tragen, bringen). Ein endlicher Boole- scher Ring kann daher nur eine Ordnung haben, die eine Zweierpotenz ist (vgl.

Bemerkung 1.17 a)).

Außerdem ist (X, +) dann eine Boolesche Gruppe, da alle Elemente die Ordnung 2 besitzen.

Satz 1.12 Definiert man in einer Booleschen Algebra B = (X, ∧, ∨,

, o, e) x + y := (x ∧ y

) ∨ (x

∧ y) und

(25)

x · y := x ∧ y (26)

f¨ ur alle x, y ∈ X, dann ist R = (X, +, ·) ein Boolescher Ring.

Beweis: Wegen (1), (9) und (15) ist (X, ·) eine kommutative und idempotente Halbgruppe, und wegen (4) ist dann e Einselement. Es reicht daher der Nachweis eines Distributivgesetzes.

Einerseits gilt x · (y + z) = x ∧ ((y ∧ z

) ∨ (y ∧ z

)) = (x ∧ y ∧ z

) ∨ (x ∧ y

∧ z).

Andererseits hat man x · y + x · z = ((x ∧ y) ∧ (x ∧ z)

) ∨ ((x ∧ y)

∧ (x ∧ z)) = (x∧y∧(x

∨z

))∨((x

∨y

)∧x∧z) = (x∧y∧x

)∨(x∧y∧z

)∨(x

∧x∧z)∨(y

∧x∧z) = (x ∧ y ∧ z

) ∨ (y

∧ x ∧ z), wegen x ∧ y ∧ x

= o = x

∧ x ∧ z.

Offensichtlich ist die Addition (lat. addere = hinzuf¨ ugen) kommutativ und wegen x + o = (x ∧ o

) ∨ (x

∧ o) = (x ∧ e) ∨ o = x ist o neutrales Element in (X, +).

Wegen x + x = (x ∧ x

) ∨ (x

∧ x) = o ∨ o = o ist jedes Element zu sich selbst

invers (lat. invertere = umdrehen). Daher bleibt die Assoziativit¨ at der Addition

zu zeigen.

1 BOOLESCHE ALGEBREN

Es ist x + (y + z) = (x ∧ ((y ∧ z

) ∨ (y

∧ z))

) ∨ (x

∧ ((y ∧ z

) ∨ (y

∧ z))) = (x∧((y

∨z)∧(y∨z

)))∨(x

∧y∧z

)∨(x

∧y

∧z) = (x∧y

∧y)∨(x∧y

∧z

)∨(x∧z∧y)∨

(x∧z ∧z

)∨(x

∧y∧z

)∨(x

∧y

∧z) = (x∧y

∧z

)∨(x∧z ∧y)∨(x

∧y∧z

)∨(x

∧y

∧z).

Dieser letzte Term (lat. terminus = festgelegter (Grenz-)Punkt) ist aber invariant (lat. varius = verschieden) unter der Vertauschung von x und z. Also gilt x + (y + z) = z + (y + x) = (y + x) + z = (x + y) + z, wobei die letzten beiden Gleichheiten

aus der Kommutativit¨ at folgen.

Bemerkung 1.13 a) Die durch (25) definierte Verkn¨ upfung wird in der Schalt- algebra auch Exklusives Oder (XOR) (lat. excludere = ausschließen) genannt; bei Potenzmengen spricht man dagegen von symmetrischer Differenz (grch. symme- tria = Ebenmaß, lat. differe = unterscheiden), denn man kann die Durchschnitts- bildung mit den Komplementen dann durch die mengentheoretische Differenz ausdr¨ ucken.

b) In Analogie zur mengentheoretischen Differenz in einer Potenzmenge kann man in jeder Booleschen Algebra eine Differenz durch x − y := x ∧ y

definieren und die Eigenschaften dieser Operation untersuchen. Daneben spielt (speziell bei den Booleschen Algebren der Aussagenlogik) die hierzu duale Operation x → y :=

x

∨ y eine große Rolle. Bei ihr handelt es sich dann um die logische Implikation (lat. implicare = verwickeln). (Man vergleiche hierzu auch Abschnitt 10.)

Satz 1.14 Es sei R = (X, +, ·) ein Boolescher Ring mit dem Nullelement o und dem Einselement e. Definiert man

x ∧ y := x · y, (27)

x ∨ y := x + y + x · y und (28)

x

:= e + x (29)

f¨ ur alle x, y ∈ X, dann ist B = (X, ∧, ∨,

, o, e) eine Boolesche Algebra.

Beweis: Wegen Folgerung 1.10 sind (1) und (2) erf¨ ullt, und (4) gilt, da e Eins- element des Ringes ist. Aus x ∨ o = x + o + x · o = x folgt (3).

(5): Es ist x ∧ (y ∨ z) = x(y + z + yz) = xy + xz + xyz und (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = xy ∨ xz = xy + xz + xyxz = xy + xz + xyz wegen Folgerung 1.10 und x

= x.

(6): Es ist x∨(y∧z) = x+yz +xyz und (x∨y)∧(x∨z) = (x+y+xy)(x+z +xz) =

(x

+xz+x

z)+(yx+yz +yxz)+(xyx+xyz +xyxz). Wegen x

= x und xz+xz = o

reduziert sich die erste Klammer zu x, ebenso heben sich die Terme xy + xyz aus der zweiten und dritten Klammer auf. Daher bleibt aus der zweiten Klammer noch yz und aus der dritten Klammer xyxz = xyz.

(7): Es ist x ∨ x

= x + (e + x) + x(e + x) = x + (e + x)

= x + e + x = e.

(8): Es ist x ∧ x

= x(e + x) = x + x

= x + x = o.

Bemerkung 1.15 a) In Analogie zu (28) kann man in jedem Ring die aus Addi- tion und Multiplikation (lat. multiplicare = vervielfachen) abgeleitete Operation x ∗ y := x + y − x · y definieren und ihre Eigenschaften untersuchen.

b) Man kann sogar zeigen, daß durch die Konstruktionen aus den S¨ atzen 1.12 und 1.14 eine Bijektion zwischen der Klasse aller Booleschen Algebren und der Klasse aller Booleschen Ringe vermittelt wird.

Satz 1.16 Eine Boolesche Algebra B = (X, ∧, ∨,

, o, e) ist genau dann zur Boole- schen Algebra (

(M), ∩, ∪,

, ∅, M) f¨ ur eine Menge M isomorph, wenn B voll- st¨ andig (vgl. Abschnitt 5) und atomar (grch. atomos = unteilbar) (vgl. Definiti- on 3.18) ist.

Bemerkung 1.17 a) Jede endliche Boolesche Algebra B = (X, ∧, ∨,

, o, e) ist vollst¨ andig und atomar und daher zu

(M ) mit M = {1, . . . , n} f¨ ur ein n ∈

isomorph. Damit gilt |X| = 2

(vgl. Aufgabe 11.1 und Satz 3.21).

b) Es gibt Boolesche Algebren, die nicht vollst¨ andig sind. Ein einfaches Beispiel liefert f¨ ur jede unendliche Menge M die Menge

X = {A ⊆ M | A ist endlich oder M \ A ist endlich}.

Es ist dann stets X 6=

(M ) (vgl. Aufgabe 11.3).

c) Es gibt Boolesche Algebren, die nicht atomar sind.

2 VERB ¨ ANDE UND HALBVERB ¨ ANDE

2 Verb¨ ande und Halbverb¨ ande

Die Begriffsbildung des Verbandes geht auf Richard Dedekind (1831 – 1916) zur¨ uck.

Definition 2.1 Ein Verband V = (X, ∧, ∨) besteht aus einer nichtleeren Men- ge X und zwei zweistelligen Verkn¨ upfungen auf X, der Infimumsbildung ∧ und der Supremumsbildung ∨, so daß f¨ ur alle x, y, z ∈ X folgende Axiome erf¨ ullt sind:

x ∧ y = y ∧ x, (30)

x ∨ y = y ∨ x, (31)

x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, (32)

x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, (33)

x ∧ (x ∨ y) = x, (34)

x ∨ (x ∧ y) = x.

(35)

Gelten außerdem noch

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) und (36)

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z), (37)

so heißt V = (X, ∧, ∨) ein distributiver Verband, gelten dagegen nur die Implika- tionen

x ∨ y = x ∨ z = ⇒ x ∨ (y ∧ z) = x ∨ y und (38)

x ∧ y = x ∧ z = ⇒ x ∧ (y ∨ z) = x ∧ y, (39)

so heißt V = (X, ∧, ∨) ein semidistributiver Verband (lat. semis = halb) Ver- b¨ ande, die nur (38) [nur (39)] erf¨ ullen, nennt man auch ∨-semidistributiv [∧- semidistributiv].

Folgerung 2.2 In jedem Verband V = (X, ∧, ∨) gelten f¨ ur alle x, y, z ∈ X x ∧ x = x,

(40)

x ∨ x = x, (41)

x ∧ y = x ⇐⇒ x ∨ y = y, (42)

x ∧ y = x ∨ y ⇐⇒ x = y.

(43)

Außerdem sind (36) und (37) ¨ aquivalent. Ist V sogar distributiv, so ist er auch semidistributiv und man hat noch

x ∧ y = x ∧ z und x ∨ y = x ∨ z = ⇒ y = z.

(44)

Beweis: Die Idempotenz (40) folgt allein aus (35) und (34) gem¨ aß x ∧ x = x ∧ (x ∨ (x ∧ x)) = x. Damit ist dann auch die duale Aussage (41) bewiesen.

Aus x ∧ y = x folgt x ∨ y = (x ∧ y) ∨ y = y ∨ (y ∧ x) = y mit der Kommutativit¨ at und den Absorptionsgesetzen. Umgekehrt folgt ebenso aus x∨y = y sofort x∧y = x ∧ (x ∨ y) = x. Damit ist die ¨ Aquivalenz (42) gezeigt.

Aus x = y folgt wegen der Idempotenz nat¨ urlich x ∧y = x∧ x = x = x∨ x = x ∨y.

Umgekehrt folgt aus x∧y = x∨y mit den Absorptionsgesetzen, der Assoziativit¨ at und der schon bewiesenen Idempotenz x = x ∨ (x∧ y) = x∨ (x ∨y) = (x∨ x) ∨y = x ∨ y. Mit der Kommutativit¨ at folgt daher auch y = y ∨ x = x ∨ y = x, also insgesamt die ¨ Aquivalenz (43).

Gilt nun noch (36), so folgt mit der Kommutativit¨ at, den Absorptionsgesetzen und der Assoziativit¨ at (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = ((x ∨ y) ∧ x) ∨ ((x ∨ y) ∧ z) = x ∨ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z)) = (x ∨ (x ∧ z)) ∨ (y ∧ z) = x ∨ (y ∧ z). Aus der Dualit¨ at ergibt sich dann die behauptete Gleichwertigkeit.

Aus (37) und x∨y = x∨ z folgt mit der Idempotenz x∨(y ∧z) = (x∨ y)∧(x∨ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ y) = x ∨ y, also (38). Dual folgt (39) aus (36).

Aus der Voraussetzung von (44) und der Distributivit¨ at folgt y = y ∧ (y ∨ x) = y ∧ (x ∨ z) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z = (x ∨ z) ∧ z = z.

Definition 2.3 Es sei V = (X, ∧, ∨) ein Verband mit einem Nullelement o gem¨ aß (3) und einem Einselement e gem¨ aß (4). Ein y ∈ X heißt Komplement von x ∈ X, wenn

x ∧ y = o und x ∨ y = e (45)

gilt. Man nennt V komplement¨ ar, wenn jedes x ∈ X (mindestens) ein Komple- ment besitzt.

Folgerung 2.4 a) Ist V = (X, ∧, ∨) ein distributiver Verband mit einem Null- element o und einem Einselement e, dann besitzt jedes x ∈ X h¨ ochstens ein Komplement.

b) Die Booleschen Algebren sind genau die distributiven komplement¨ aren Ver-

b¨ ande.

2 VERB ¨ ANDE UND HALBVERB ¨ ANDE

Beweis: Aufgabe 11.10.

Definition 2.5 Ein Halbverband H = (X, ·) besteht aus einer nichtleeren Men- ge X und einer zweistelligen Verkn¨ upfung · auf X, die kommutativ, idempotent und assoziativ ist. (Es handelt sich bei (X, ·) also um eine kommutative und idempotente Halbgruppe.)

Folgerung 2.6 F¨ ur jeden Verband V = (X, ∧, ∨) sind (X, ∧) und (X, ∨) Halb- verb¨ ande, zwischen denen die Beziehung (42) besteht. Sind umgekehrt (X, ∧) und (X, ∨) Halbverb¨ ande auf X, so daß (42) f¨ ur alle x, y ∈ X erf¨ ullt ist, dann ist (X, ∧, ∨) ein Verband.

Beweis: Die erste Aussage ergibt sich aus Folgerung 2.2. F¨ ur die Umkehrung ist nur zu zeigen, daß sich mit (42) eines der Absorptionsgesetze nachweisen l¨ aßt.

Mit z = x ∨ y folgt aus der Assoziativit¨ at und Idempotenz x ∨ z = x ∨ (x ∨ y) = (x ∨ x) ∨ y = x ∨ y = z und mit (42) daher x ∧ (x ∨ y) = x ∧ z = x, also (34).

Definition 2.7 Es sei M eine beliebige Menge und ∅ 6=

⊆

(M), so daß M

, M

∈

= ⇒ M

∩ M

∈

und M

∪ M

∈

(46)

erf¨ ullt ist. Dann heißt (

, ∩, ∪) ein Mengenverband.

Satz 2.8 Jeder Mengenverband ist ein distributiver Verband. Umgekehrt ist jeder distributive Verband zu einem Mengenverband isomorph.

Definition 2.9 Es sei V = (X, ∧, ∨) ein Verband und ∅ 6= X

⊆ X. Wenn x∧y ∈ X

und x∨y ∈ X

f¨ ur alle x, y ∈ X

erf¨ ullt sind, dann heißt V

= (X

, ∧, ∨) ein Unterverband oder Teilverband von V . Handelt es sich bei V sogar um eine Boolesche Algebra mit der Komplementbildung

, und gilt auch x

∈ X

f¨ ur alle x ∈ X

, dann nennt man V

eine Unteralgebra von V.

Beispiel 2.10 Es sei X =

(V ) die Potenzmenge eines Vektorraumes V und

X

die Menge aller Unterr¨ aume von V . Definiert man U

∧ U

= U

∩ U

und

U

∨ U

= [U

∪ U

] als lineare H¨ ulle von U

∪ U

f¨ ur alle U

∈ X

, so ist (X

, ∨, ∧)

ein Verband, aber kein Teilverband des Potenzmengenverbandes (X, ∪, ∩).

Beispiel 2.11 Auf der Menge X = {o, x, y, z, e} sind durch die beiden folgenden Hasse-Diagramme (grch. diagramma = geometrische Figur) (Helmut Hasse, 1898 - 1979) mit den ¨ ublichen Interpretationen (lat. interpretare = auslegen) von ∧ und ∨ zwei Verb¨ ande gegeben, die beide nicht distributiv sind. Sie sind jedoch beide komplement¨ ar. Der linke Verband ist semidistributiv, der rechte nicht.

o e

x y

z x y z

e

o

Satz 2.12 Ein Verband V = (X, ∧, ∨) ist genau dann distributiv, wenn er kei- nen Teilverband V

enth¨ alt, der zu einem der beiden Verb¨ ande aus Beispiel 2.11 isomorph ist.

Mit den folgenden ¨ Uberlegungen wird die im ersten Abschnitt hergestellte Bezie- hung zwischen Booleschen Algebren und Booleschen Ringen verallgemeinert.

Definition 2.13 Ein Halbring H = (X, +, ·) besteht aus zwei Halbgruppen (X, +) und (X, ·), so daß die beiden Distributivgesetze x · (y + z) = x · y + x · z und (y + z) · x = y · x + z · x wie bei Ringen gelten. Ein solcher Halbring heißt ein Boolescher Halbring, wenn außerdem die folgenden Axiome gelten.

i) (X, +) ist kommutativ und besitzt ein neutrales Element o, das Nullelement des Halbringes.

ii) (X, ·) ist idempotent und besitzt ein neutrales Element e, das Einselement des Halbringes.

iii) Das Nullelement ist multiplikativ absorbierend gem¨ aß x · o = o = o · x f¨ ur alle x ∈ X.

iv) Das Einselement erf¨ ullt

e + x + x = e f¨ ur alle x ∈ X.

(47)

2 VERB ¨ ANDE UND HALBVERB ¨ ANDE

Bemerkung 2.14 a) Offensichtlich ist jeder distributive Verband (X, ∧, ∨) mit einem Nullelement o und einem Einselement e ein derartiger Boolescher Halbring, wobei ∧ die Multiplikation · und ∨ die Addition + ist. Hierbei sind sogar beide Operationen kommutativ und idempotent.

b) Jeder Boolesche Ring ist ein Boolescher Halbring, denn wegen Folgerung 1.10 gilt x + x = o f¨ ur alle x ∈ X und daher auch (47).

c) Es gibt Boolesche Halbringe, die weder distributive Verb¨ ande noch Boolesche Ringe sind (vgl. Aufgabe 11.10).

d) Aus e+x+x = e folgt speziell e+e+e = e und hieraus wegen der Distributivit¨ at x + x + x = x

(48)

f¨ ur alle x ∈ X. Weiterhin folgt aus einer Gleichheit a = b stets e + a = e + b sowie e+a+b = e +b +b = e, und aus e+a +b = e auch umgekehrt e +b = e+a+b +b = e + a. Außerdem folgt aus a + b = a + c auch e + a + a + b = e + a + a + c und daher e + b = e + c. Derartige Umformungen werden beim Beweis der n¨ achsten Folgerung wiederholt verwendet, ohne sie explizit zu erw¨ ahnen.

Wie bei Booleschen Ringen l¨ aßt sich die Kommutativit¨ at der Multiplikation zei- gen, allerdings mit mehr Aufwand als beim Beweis von Folgerung 1.10.

Folgerung 2.15 In jedem Booleschen Halbring H = (X, +, ·) gilt x · y = y · x f¨ ur alle x, y ∈ X.

Beweis: Aus der binomischen Formel und der Idempotenz der Multiplikation folgt

e + x + yz = e + (x + yz)

= e + x + xyz + yzx + yz und damit

e + xyz + yzx = e.

Mit y = z erh¨ alt man hieraus e = e + xy + yx.

(49)

(Im Fall eines Booleschen Ringes konnte man dann die additive K¨ urzbarkeit spe-

ziell von e ausnutzen, womit die Behauptung dann bereits bewiesen war. Da

dies jetzt nicht m¨ oglich ist, muß man etwas anders schließen.) Multiplikation

mit xy von rechts liefert xy = xy + xy + yxy und wegen xy = xyxy folgt xy = xyxy + xyxy + yxy = (x + x + e)yxy = yxy und daher auch yx = xyx. Nun hat man

xy + yx + yx = xy + xyx + xyx = xy(e + x + x) = xy

und schließlich wegen der Kommutativit¨ at der Addition und der Idempotenz der Multiplikation die behauptete Kommutativit¨ at der Multiplikation.

xy = yx + xy + (yx)(yx)

= yx + yxy + yxyx

= yx + yxxy + yxyx

= yx(e + xy + yx) = yx,

wobei im letzten Schritt nochmals (49) benutzt wurde.

Nun kann man ein Analogon zu Satz 1.14 zeigen.

Satz 2.16 Es sei H = (X, +, ·) ein Boolescher Halbring mit dem Nullelement o und dem Einselement e. Definiert man

x ∧ y := x · y und (50)

x ∨ y := x + y + x · y (51)

f¨ ur alle x, y ∈ X, dann ist V = (X, ∧, ∨, o, e) ein distributiver Verband mit dem Nullelement o und dem Einselement e.

Beweis: Wegen Folgerung 2.15 ist (X, ∧, e) kommutative und idempotente Halb- gruppe mit dem Einselment e. Daher gelten auch x∨y = x+y+x·y = y+x+y·x = y ∨ x sowie x ∨ x = x + x + x · x = x + x + x = x und x ∨ o = x + o + x · o = x , so daß (X, ∨) kommutativ und idempotent ist und ein neutrales Element besitzt.

Schließlich zeigen (x∨ y) ∨z = (x +y +xy) ∨ z = x +y + xy+ z + xz + yz +xyz und

x∨(y∨z) = x∨(y+z+yz ) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz, daß (X, ∨) auch eine Halb-

gruppe ist. Weiterhin gelten x ∨ (x ∧ y) = x ∨ xy = x + xy + xy = x(e + y + y) = x

und x ∧ (x ∨ y) = x(x + y + xy) = x + xy + xy = x, d. h. die beiden Ab-

sorptionsgesetze. Daher ist (X, ∨, ∧) ein Verband mit dem Nullelement o und

dem Einselement e. Wegen x ∧ (y ∨ z) = x(y + z + xyz) = xy + xz + xyz und

(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = xy ∨ xz = xy + xz + xyxz = xy + xz + xxyz = xy + xz + xyz

gilt ein Distributivgesetz und nach Folgerung 2.2 daher sogar beide.

2 VERB ¨ ANDE UND HALBVERB ¨ ANDE

Bemerkung 2.17 a) Ist (X, +, ·) selbst schon ein distributiver Verband, so gilt wegen des Absorptionsgesetzes auch x ∨ y = x + y + xy = x + y f¨ ur alle x, y ∈ X, d. h. (X, +, ·) und (X, ∨, ∧) stimmen bereits ¨ uberein. Daher gilt ein Satz 1.12 enstprechender Satz f¨ ur Boolesche Halbringe (und distributive Verb¨ ande mit o und e) nicht mehr.

b) Wie der Boolesche Halbring aus Aufgabe 11.8 zeigt, kann es also verschiedene Boolesche Halbringe geben, die denselben distributiven Verband liefern.

c) Definiert man x

= e + x f¨ ur alle x ∈ X, so gilt zwar x ∨ x

= x + e + x = e, aber wegen x ∧ x

= x(e + x) = x + x

= x + x ist x

nur dann Komplement von x, wenn x + x = o gilt, wenn also x in (X, +) invertierbar mit −x = x ist.

Definition 2.18 Ein distributiver Quasiverband Q = (X, ∧, ∨) besteht aus zwei Halbverb¨ anden (X, ∨) und (X, ∧), so daß die Distributivgesetze (36) und (37) erf¨ ullt sind.

Gilt dagegen nur (36), so spricht man von einem ∧-distributiven Bihalbverband und dual von einem ∨-distributiven Bihalbverband, wenn nur (37) gilt.

Existiert ein neutrales Element von (X, ∨) [von (X, ∧)], so wird es Nullelement [Einselement] des Quasiverbandes bzw. Bihalbverbandes genannt.

Bemerkung 2.19 Jeder distributive Verband ist also ein ∨- und ∧-distributiver Bihalbverband sowie ein distributiver Quasiverband.

F¨ ur distributive Quasiverb¨ ande gilt das Dualit¨ atsprinzip. Es gilt ebenfalls f¨ ur distributive Quasiverb¨ ande mit Null- und Einselement.

∨- und ∧-distributive Bihalbverb¨ ande sind jeweils kommutative und idempoten- te Halbringe, distributive Quasiverb¨ ande sogar kommutative und idempotente distributive Halbringe.

Beispiel 2.20 Adjungiert man zu einem distributiven Quasiverband (X, ∨, ∧)

ein Element ∞ ∈ / X gem¨ aß ∞ ∨ x = ∞ = x ∨ ∞ und ∞ ∧ x = ∞ = x ∧ ∞

f¨ ur alle x ∈ X ∪ {∞} als doppelt absorbierendes Element, so ist X ∪ {∞} ein

distributiver Quasiverband. Offensichtlich bleiben ja (X ∪ {∞}, ∨) und (X ∪

{∞}, ∧) idempotente und kommutative Halbgruppen und (36) und (37) gelten

nach Voraussetzung f¨ ur x, y, z ∈ X. In den F¨ alle x = ∞, y = ∞ oder z = ∞ gelten

sie aber auch, da dann auf beiden Seiten der Gleichungen jeweils das Ergebnis ∞

steht, weil dieses Element doppelt absorbierend ist. Die Absorptionsgesetze sind

aber wegen x ∨ (x ∧ ∞) = ∞ 6= x und dual x ∧ (x ∨ ∞) = ∞ 6= x f¨ ur x 6= ∞ in

keinem Fall mehr erf¨ ullt.

Lemma 2.21 Sei Q = (X, ∨, ∧) ein distributiver Quasiverband mit einem Null- element o und einem Einselement e. Dann gelten f¨ ur alle x, y ∈ X

a) x ∧ o = o ⇐⇒ x ∨ e = e.

b) x ∧ y = e ⇐⇒ x = y = e.

c) x ∧ y ∧ o = o ⇐⇒ x ∧ o = y ∧ o = o.

Beweis: a) Aus x ∧ o = o folgt e = o ∨ e = (x ∧ o) ∨ e = (x ∨ e) ∧ (o ∨ e) = (x ∨ e) ∧ e = x ∨ e. Die Umkehrung folgt dual.

b) Aus x ∧ y = e folgt x = x ∧ e = x ∧ (x ∧ y) = x ∧ y = e und y = y ∧ e = y ∧ (x ∧ y) = y ∧ (y ∧ x) = y ∧ x = e. Die Umkehrung ist trivial.

c) Aus (x∧y)∧o = o folgt mit a) zun¨ achst e = (x∧y)∨e = (x∨e)∧(y∨e) und daher mit b) dann x ∨ e = y ∨ e = e. Wiederum mit a) folgt hieraus x ∧ o = y ∧ o = o.

Die Umkehrung ist trivial.

Lemma 2.22 Es sei Q = (X, ∨, ∧) ein distributiver Quasiverband.

a) Besitzt Q ein Nullelement o, dann wird durch

x κ y ⇐⇒ x = y oder (x ∧ o 6= o und y ∧ o 6= o) eine Kongruenzrelation in Q definiert.

b) F¨ ur alle a ∈ X werden durch

x κ

y ⇐⇒ x ∨ a = y ∨ a x κ

y ⇐⇒ x ∧ a = y ∧ a

Kongruenzrelationen in Q definiert, die folgende Eigenschaften haben:

(i) x κ

∩ κ

y ⇐⇒ x ∧ (x ∨ a) = y ∧ (y ∨ a),

(ii) κ

= ι

⇐⇒ a = o ist ein Nullelement von Q, (iii) κ

= X × X ⇐⇒ a = e ist ein Einselement von Q.

Beweis: a) κ ist definitionsgem¨ aß reflexiv und symmetrisch. Gelten xκy und yκz,

so gilt f¨ ur x = y oder y = z jedenfalls xκz. Sonst gelten x ∧ o 6= o, y ∧ o 6= o und

z ∧ o 6= o und daher ebenfalls xκz. Daher ist κ auch transitiv. Gilt xκy und ist

z ∈ X beliebig, so folgt im Fall x = y sofort x∧ z = y∧ z, also x∧ z κ y ∧z. Im Fall

2 VERB ¨ ANDE UND HALBVERB ¨ ANDE

x ∧ o 6= o und y ∧ o 6= o w¨ urde aus x ∧ z ∧ o = o mit Lemma 2.21 c) aber x ∧ o = o folgen, was nicht richtig ist. Also gilt x ∧ z ∧ o 6= o und analog y ∧ z ∧ o 6= o.

Daher gilt auch jetzt x ∧ z κ y ∧ z und damit ist κ eine Kongruenzrelation in der Halbgruppe (X, ∧).

Wegen Lemma 2.21 a) stimmt κ aber mit der dualen Relation x κ

y ⇐⇒ x = y oder (x ∨ e 6= e und y ∨ e 6= e)

¨ uberein und diese ist wegen der Dualit¨ at Kongruenzrelation in (X, ∨). Also ist κ = κ

Kongruenzrelation in Q.

b) Offensichtlich sind κ

und κ

jeweils ¨ Aquivalenzrelationen, da sie mit Hilfe von Gleichungen definiert werden. Außerdem sind sie dual zueinander. Gilt x κ

y und ist z ∈ X beliebig, so folgt x ∨ z ∨ a = y ∨ z ∨ a aus x ∨ a = y ∨ a und ebenso (z ∧ x) ∨ a = (z ∨ a) ∧ (x ∨ a) = (z ∨ a) ∧ (y ∨ a) = (z ∧ y) ∨ a. Also gelten auch x ∨ z κ

y ∨ z und x ∧ z κ

y ∧ z und κ

ist Kongruenzrelation in Q. Dual folgt, daß auch κ

Kongruenzrelation auf Q ist.

(i): Aus x κ

y und x κ

y folgt x ∧ (x ∨ a) = x ∧ (y ∨ a) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ a) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ a) = y ∧ (x ∨ a) = y ∧ (y ∨ a).

Beim Beweis der Umkehrung beachte man, daß wegen der Distributivit¨ at und Idempotenz x∧(x∨a) = (x∧x)∨(x∧a) = x∨(x∧a) gilt und somit die Bedingung x ∧ (x ∨ a) = y ∧ (y ∨ a) selbstdual ist. Aus dieser Bedingung folgt daher wegen x∨a = (x∨a)∧(x ∨a∨a) = (x ∧(x∨ a))∨ a zun¨ achst y∨a = (y∧(y∨a))∨a = x∨a und x κ

y, aber ebenso auch x κ

y.

(ii): Besitzt Q ein Nullelement o, so ist x ∨ o = y ∨ o ja gleichwertig zu x = y f¨ ur alle x, y ∈ X. Umgekehrt gilt wegen (x ∨ a) ∨ a = x ∨ a stets x ∨ a κ

x f¨ ur alle x ∈ X. Im Fall κ

= ι

heißt dies aber x ∨ a = x f¨ ur alle x ∈ X und damit ist dann a Nullelement von Q.

(iii): Dies ist dual zu (ii).

3 Partiell geordnete Mengen

Definition 3.1 F¨ ur beliebige Mengen A und B heißt jede Teilmenge % von A×B eine (bin¨ are) Relation von (den Elementen von) A zu (den Elementen von) B (lat.

relatio = Beziehung, Verh¨ altnis). F¨ ur jedes Paar (a, b) ∈ A × B schreibt man kurz a % b im Falle (a, b) ∈ % und a 6% b im Falle (a, b) ∈ / %. Im Spezialfall A = B nennt man % ⊆ A × A eine Relation auf A und i

= {(a, a) | a ∈ A} die identische Relation auf A (lat. identidem = immer wieder). F¨ ur Teilmengen A

⊆ A und B

⊆ B heißt die Relation %

= % ∩ (A

× B

) die Einschr¨ ankung von % auf A

× B

. Definition 3.2 F¨ ur beliebige Mengen A, B, C und D und Relationen % ⊆ A × B sowie σ ⊆ C × D sei die zu % inverse Relation %

⊆ B × A durch b %

a ⇐⇒

a % b f¨ ur alle a ∈ A und b ∈ B definiert und das Produkt (lat. producere = hervorbringen) σ ◦ % ⊆ A × D von % und σ durch

a (σ ◦ %) d ⇐⇒ es gibt ein x ∈ B ∩ C mit a % x und x σ d f¨ ur alle a ∈ A und d ∈ D.

Definition 3.3 F¨ ur eine Relation % auf einer Menge A werden die folgenden Bezeichnungen eingef¨ uhrt.

% ist reflexiv ⇐⇒ i

⊆ %, (52)

% ist irreflexiv ⇐⇒ i

∩ % = ∅, (53)

% ist symmetrisch ⇐⇒ % ⊆ %

⇐⇒ %

⊆ % ⇐⇒ % = %

, (54)

% ist antisymmetrisch ⇐⇒ % ∩ %

⊆ i

, (55)

% ist asymmetrisch ⇐⇒ % ∩ %

= ∅, (56)

% ist transitiv ⇐⇒ % ◦ % ⊆ %, (57)

% ist konnex ⇐⇒ % ∪ %

∪ i

= A × A, (58)

% ist linear ⇐⇒ % ∪ %

= A × A, (59)

Dann heißt % Ahnlichkeit, ¨ wenn sie reflexiv (lat. reflectere = zur¨ uckbiegen) und symmetrisch, Toleranzrelation, (lat. tolerare = dulden) wenn sie symmetrisch und transitiv (lat. transire = hin¨ ubergehen), und eine Aquivalenzrelation, ¨ (lat. aequus

= gleich) wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Dagegen heißt % eine

Quasiordnung, (lat. quasi = als ob) wenn sie reflexiv und transitiv ist, und eine

partielle Ordnung, (lat. pars = Teil) wenn sie außerdem noch antisymmetrisch

(grch. anti = gegen) ist. Eine partielle Ordnung heißt lineare (lat. linea = Strich,

Zeile) (oder totale) Ordnung, wenn sie linear ist.

3 PARTIELL GEORDNETE MENGEN

Folgerung 3.4 Ist % eine Quasiordnung auf A, dann definiert a ∼ b ⇐⇒ a % b und b % a

(60)

f¨ ur alle a, b ∈ A eine ¨ Aquivalenzrelation auf A. Weiterhin wird auf der Menge A/∼= {[a]

| a ∈ A} aller ¨ Aquivalenzklassen [a]

= {x ∈ A | a ∼ x} durch

[a]

% ¯ [b]

⇐⇒ a % b (61)

eine partielle Ordnung % ¯ definiert.

Beweis: Da % reflexiv ist, gilt a % a f¨ ur alle a ∈ A und daher auch a ∼ a. Also ist

∼ ebenfalls reflexiv.

Aus a ∼ b und b ∼ c folgen a % b, b % a, b % c und c % b. Mit der Transitivit¨ at von % folgen a % c und c % a, also a ∼ c. Daher ist ∼ ebenfalls transitiv.

Aus a ∼ b folgt a % b und b % a, also auch b ∼ a. Daher ist ∼ symmetrisch und folglich eine ¨ Aquivalenzrelation auf A.

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit von ¯ % gelte [a]

= [a

]

und [b]

= [b

]

f¨ ur a, a

, b, b

∈ A, also a ∼ a

und b ∼ b

. Es folgen a % a

, a

% a, b % b

und b

% b. Aus a % b folgt dann mit der Transitivit¨ at von % auch a

% b

und umgekehrt aus a

% b

auch a % b. Also ist die Definition von ¯ % in (61) unabh¨ angig von den Repr¨ asen- tanten der ¨ Aquivalenzklassen.

Aus der Reflexivit¨ at von % folgt dann die Reflexivit¨ at von ¯ % und dasselbe gilt bez¨ uglich der Transitivit¨ at. Schließlich folgt aus [a]

% ¯ [b]

und [b]

% ¯ [a]

mit (61) sofort a % b und b % a, wegen (60) also a ∼ b und damit [a]

= [b]

. Daher ist

¯

% auch antisymmetrisch.

Folgerung 3.5 Ist % (oder ≤) eine partielle Ordnung auf A, so ist die Relation

%

= % \ i

(oder <) eine irreflexive, transitive und asymmetrische Relation. Ist umgekehrt σ (oder <) eine irreflexive, transitive und asymmetrische Relation auf A, so ist σ

= σ ∪ i

eine partielle Ordnung auf A. Dabei gilt stets (%

)

= % und (σ

)

= σ.

Entsprechendes gilt unter Einbeziehung der Linearit¨ at f¨ ur % (oder ≤) und der

Konnexit¨ at f¨ ur σ (oder <).

Bemerkung 3.6 Die identische Relation ist f¨ ur jede Menge A nicht nur eine Aquivalenzrelation sondern auch eine partielle Ordnungsrelation. Zu ihr geh¨ ¨ ort die leere Relation als irreflexive, transitive und asymmetrische Relation.

Beispiel 3.7 In jedem Verband V = (X, ∧, ∨) wird durch x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y = x

(62)

f¨ ur alle x, y ∈ X, oder wegen (42) gleichwertig x ≤ y ⇐⇒ x ∨ y = y

(63)

eine partielle Ordnung ≤ auf X definiert.

Definition 3.8 Ist X eine beliebige Menge und ≤ eine partielle Ordnung auf X, dann heißt (X, ≤) eine partiell geordnete Menge, kurz eine p. o. Menge. Handelt es sich bei ≤ sogar um eine lineare Ordnung, so nennt man (X, ≤) eine total geordnete (t. o.) Menge oder Kette. Eine p. o. Menge (X, ≤) heißt nach unten gerichtet, wenn zu x, y ∈ X immer ein z ∈ X mit z ≤ x und z ≤ y existiert.

Bemerkung 3.9 Ist (X, ≤) eine p. o. (t. o.) Menge und X

⊆ X, so ist die Einschr¨ ankung von ≤ auf X

×X

ebenfalls eine partielle (totale) Ordnung auf X

. Man schreibt wieder (X

, ≤) f¨ ur die so entstehende p. o. (t. o.) Menge.

Jede Kette ist nach unten (und nach oben) gerichtet.

Definition 3.10 Es sei (X, ≤) eine p. o. Menge und T 6= ∅ eine Teilmenge von X.

Dann heißt ein Element a ∈ T ein minimales Element von T , wenn t ≤ a = ⇒ t = a

(64)

f¨ ur alle t ∈ T gilt. Dagegen heißt b ∈ T kleinstes Element oder Minimum von T ,

wenn b ≤ t f¨ ur alle t ∈ T erf¨ ullt ist.

3 PARTIELL GEORDNETE MENGEN

Bemerkung 3.11 a) Eine Teilmenge T einer p. o. Menge (X, ≤) kann beliebig viele minimale Elemente haben. Dagegen gibt es h¨ ochstens ein kleinstes Element b von T , welches dann auch das einzige minimale Element von T ist. Man schreibt dann b = min T . Ist dagegen (X, ≤) oder wenigstens (T, ≤) eine nach unten gerichtete Menge, so fallen die Begriffe “minimales Element von T ” und “kleinstes Element von T ” zusammen. Andererseits gibt es partiell geordnete Mengen (X, ≤) mit genau einem minimalen Element, welches aber nicht kleinstes Element von (X, ≤) ist.

b) Dem ¨ Ubergang von einer p. o. Menge (X, ≤) = (X, %) zu der p. o. Menge (X, ≥) = (X, %

) entspricht das ordnungstheoretische Dualit¨ atsprinzip. Danach sind dann auch die Begriffe maximales Element, gr¨ oßtes Element, Maximum etc.

definiert.

Definition 3.12 Es sei (X, ≤) eine p. o. Menge und T eine beliebige Teilmenge von X. Ein Element x ∈ X heißt eine untere Schranke von T (in X), wenn x ≤ t f¨ ur alle t ∈ T gilt. Existiert eine solche untere Schranke, so heißt T in X nach unten beschr¨ ankt. Ein Element d ∈ X heißt gr¨ oßte untere Schranke von T (in X) oder Infimum von T (in X), wenn

d ≤ t f¨ ur alle t ∈ T und (65)

s ≤ t f¨ ur alle t ∈ T = ⇒ s ≤ d f¨ ur alle s ∈ X (66)

gelten, wenn also d das Maximum der Menge aller unteren Schranken von T in X ist. Im Falle der Existenz ist also das Infimum d von T in X eindeutig bestimmt.

Man schreibt dann d = inf T oder d =

t und insbesondere d = a ∧ b f¨ ur T = {a, b} ⊆ X, wenn der Bezug auf X klar ist.

Beispiel 3.13 Ist V = (X, ∧, ∨) ein Verband und ≤ gem¨ aß (62) definiert, dann existieren in der p. o. Menge (X, ≤) f¨ ur je zwei Elemente a, b ∈ X sowohl das Infimum als auch das Supremum, und es gilt a∧b = inf{a, b} und a∨b = sup{a, b}.

Definition 3.14 Eine p. o. Menge (X, ≤) heißt ein unterer Halbverband oder

∧-Halbverband, wenn f¨ ur alle a, b ∈ X stets das Infimum a ∧ b ∈ X existiert.

Folgerung 3.15 a) Ist die p. o. Menge (X, ≤) ein ∧-Halbverband, dann ist ∧

eine zweistellige Verkn¨ upfung auf X, so daß (X, ∧) ein Halbverband ist. F¨ ur

x

, . . . , x

∈ X gilt dann x

∧ . . . ∧ x

= inf{x

, . . . , x

}.

b) Ist umgekehrt (X, ∧) ein Halbverband, dann definiert (62) eine partielle Ord- nung ≤ auf X, so daß (X, ≤) ein ∧-Halbverband ist, in dem a ∧ b = inf{a, b} f¨ ur alle a, b ∈ X gilt.

c) Wendet man a) und b) nacheinander an, so erh¨ alt man wieder den urspr¨ ungli- chen ∧-Halbverband (X, ≤). Entsprechendes gilt f¨ ur die Nacheinanderanwendung von b) und a).

Beweis: a) Jedenfalls ist ∧ wegen a ∧ a = inf {a, a} = a idempotent und wegen a ∧ b = inf{a, b} = inf{b, a} = b ∧ a kommutativ.

Weiterhin gilt (. . . (x

∧ x

) ∧ . . .) ∧ x

= inf{x

, . . . , x

} f¨ ur n = 2. Der weitere Beweis erfolgt nun durch Induktion.

Es existiere also d

= inf{x

, . . . , x

} in (X, ≤) f¨ ur x

, . . . , x

, x

∈ X. Dann existiert auch d = d

∧ x

= inf {d

, x

} = inf{inf{x

, . . . , x

}, x

}. F¨ ur T = {x

, . . . , x

} gilt dann d ≤ x

und d ≤ inf {x

, . . . , x

} ≤ x

f¨ ur i = 1, . . . , n, also (65). Aus s ≤ x

f¨ ur i = 1, . . . , n + 1 folgt s ≤ x

f¨ ur i = 1, . . . , n und damit s ≤ inf{x

, . . . , x

} = d

, also auch s ≤ d. Dies zeigt (66) und damit d = inf T = inf{x

, . . . , x

}. Also gilt inf {x

, . . . , x

} = (. . . (x

∧ x

) ∧ . . .) ∧ x

f¨ ur alle n ≥ 2. Hieraus folgt (x

∧ x

) ∧ x

= inf{x

, x

, x

} = inf{x

, x

, x

} = (x

∧ x

) ∧ x

= x

∧ (x

∧ x

), also die Assoziativit¨ at von ∧.

b) Wie in Beispiel 3.7 liefert (62) eine partielle Ordnung auf X und diese ist gem¨ aß a ∧ b = inf{a, b} wie in Beispiel 3.13 einen ∧-Halbverband.

c) Es sei (X, ≤) ein ∧-Halbverband, in dem also f¨ ur je zwei Elemente a, b ∈ X stets das Infimum inf{a, b} existiert und a ≤ b gleichwertig zu inf{a, b} = a ist. Dann liefert a ∗ b = inf{a, b} f¨ ur alle a, b ∈ X wegen a) zun¨ achst einen Halbverband (X, ∗) und dieser mit a % b ⇐⇒ a ∗ b = a f¨ ur alle a, b ∈ X dann wegen b) eine p. o. Menge (X, %). F¨ ur alle a, b ∈ X gilt dabei a ≤ b ⇐⇒ inf{a, b} = a ⇐⇒

a ∗ b = a ⇐⇒ a % b. Also stimmen die beiden partiell geordneten Mengen (X, ≤) und (X, %) ¨ uberein und sind derselbe ∧-Halbverband.

Ist umgekehrt (X, ∧) ein Halbverband, dann liefert a ≤ b ⇐⇒ a ∧ b = a wegen b) eine p. o. Menge (X, ≤), die ein ∧-Halbverband ist. Dieser liefert mit a ∗ b = inf{a, b} wegen a) einen Halbverband (X, ∗). Dabei gilt a ∧ b = inf{a, b} = a ∗ b, d. h., die beiden Halbgruppen (X, ∧) und (X, ∗) stimmen ¨ uberein und sind

derselbe Halbverband.

Bemerkung 3.16 Die Verb¨ ande sind also genau diejenigen p. o. Mengen, in

denen zu je zwei Elementen das Infimum und das Supremum existiert.

3 PARTIELL GEORDNETE MENGEN

Beispiel 3.17 Seien A und B beliebige Mengen und X die Menge aller partiellen Abbildungen f : D

→ B f¨ ur D

⊆ A. Dann ist (X, ⊆) eine p. o. Menge, die sogar ein ∧-Halbverband ist. F¨ ur A 6= ∅ und |B| > 1 ist jedoch (X, ⊆) kein Verband.

Definition 3.18 In einer p. o. Menge (X, ≤) mit kleinstem Element o heißen die minimalen Elemente von X

= X \ {o} Atome. Existiert dann zu jedem x 6= o aus X ein Atom a mit a ≤ x, so heißt (X, ≤) atomar.

Folgerung 3.19 Es sei (X, ≤) p. o. Menge mit kleinstem Element o. Dann sind f¨ ur a ∈ X \ {o} gleichwertig:

i) a ist ein Atom.

ii) F¨ ur jedes x ∈ X gilt a ≤ x (also a = a ∧ x) oder o = a ∧ x.

Sind a 6= b Atome von X, so gilt o = a ∧ b.

Beweis: i) = ⇒ ii): Sei a ∈ X ein Atom und x ∈ X so, daß nicht a ≤ x gilt. Da o kleinstes Element in (X, ≤) ist, ist jedenfalls o untere Schranke von {a, x}. Jede andere untere Schranke s von {a, x} erf¨ ullt daher s 6= o und wegen s ≤ a muß s = a gelten, da a minimal in X \ {o} ist. Dies w¨ urde aber a = s ≤ x implizieren, was nicht der Fall ist. Daher ist o die einzige untere Schranke von {a, x} und damit o = a ∧ x gezeigt.

ii) = ⇒ i): Gelte also ii) f¨ ur a ∈ X \ {o} und sei x ∈ X \ {o}. Aus x ≤ a folgt dann o 6= x = a ∧ x und mit ii) daher a ≤ x. Dies zeigt dann a = x und daher ist a minimal in X \ {o}, also ein Atom.

Seien nun a 6= b beides Atome. Da x = b ein Atom ist, gilt x = b 6= o, und da b minimal in X \ {o} ist, w¨ urde aus a ≤ b bereits a = b folgen, was nicht der Fall ist. Es bleibt wegen ii) also nur o = a ∧ x = a ∧ b.

Beispiel 3.20 a) In Potenzmengen X = (

(M ), ⊆) sind genau die einelementi- gen Teilmengen {x} f¨ ur x ∈ M Atome und offensichtlich ist X atomar.

b) Jede endliche p. o. Menge (X, ≤) mit kleinstem Element o ist trivialerweise atomar.

c) In X = (

, |) sind genau die Primzahlen p ∈

Atome und offensichtlich ist X atomar.

Der folgende Darstellungssatz f¨ ur endliche Boolesche Algebren (vgl. Bemerkung

1.17 a)) stammt von Harvey Stone (1903 - 1989).

Satz 3.21 Es sei B = (X, ∧, ∨,

, o, e) eine endliche Boolesche Algebra mit o 6= e.

Dann gilt ∅ 6= A ⊆ X f¨ ur die Menge A der Atome von B und f¨ ur jedes x ∈ X gibt es eine eindeutig bestimmte Teilmenge {a

, . . . , a

} ⊆ A mit k ∈

und x = a

∨ . . . ∨ a

. Insbesondere ist B atomar und isomorph zur Potenzmenge (

(A), ∩, ∪,

, ∅, A).

Beweis: Es ist (X, ≤) endliche partiell geordnete Menge mit kleinstem Element o und daher atomar. Wegen X \ {o} 6= ∅ ist die Menge A der Atome von X nicht-leer und nat¨ urlich endlich. F¨ ur x ∈ X sei {a

, . . . , a

} = {a ∈ A | a ≤ x}

und y = a

∨ . . . ∨ a

(mit y = o f¨ ur x = o und damit k = 0). Zu zeigen ist zun¨ achst x = y.

Sei z = x ∧ y

= x ∧ a

∧ . . . ∧ a

, also z ≤ x. Im Fall z 6= o w¨ urde ein Atom a ∈ A mit a ≤ z ≤ x existieren, also a = a

f¨ ur ein i ∈ {1, . . . , k}. Es folgt o = a∧ a

= (a∧ z) ∧a

= (a ∧x∧ a

∧ . . .∧a

)∧ a

= a∧ x∧ a

∧ . . .∧a

= a∧ z = a, was f¨ ur das Atom a unm¨ oglich ist. Es folgt z = x ∧ y

= o.

Andererseits folgt aus a

≤ x, also x = x ∨ a

, stets x ∨ a

= x ∨ a

∨ a

= x ∨ e = e und daher x ∨ y

= x ∨ (a

∧ . . . ∧ a

) = (x ∨ a

) ∧ . . . ∧ (x ∨ a

) = e ∧ . . . ∧ e = e.

Also gilt x

= y

und damit schließlich x = (x

)

= (y

)

= y.

Gelte nun x = a

∨. . .∨ a

= b

∨ . . .∨b

mit Atomen a

, b

∈ A. F¨ ur i ∈ {1, . . . , k}

gilt

a

= a

∧ x = a

∧ (b

∨ . . . ∨ b

) = (a

∧ b

) ∨ . . . ∨ (a

∧ b

).

Wegen Folgerung 3.19 ist dies nur m¨ oglich, wenn a

= b

f¨ ur ein einzelnes Atom b

gilt. Dies zeigt {a

, . . . , a

} ⊆ {b

, . . . , b

} und daher bereits die Gleichheit beider Mengen.

Die so wohldefinierte Abbildung ϕ : X →

(A) gem¨ aß ϕ(a

∨ . . . ∨ a

) = {a

, . . . , a

} ist offensichtlich bijektiv und die Homomorphieeigenschaft l¨ aßt sich leicht nachrechnen. Wegen ϕ(o) = ∅ und ϕ(e) = A und der DeMorganschen Gesetze bleiben

ϕ((a

∨ . . . ∨ a

)

) = A \ {a

, . . . , a

} und

ϕ((a

∨ . . . ∨ a

) ∨ (b

∨ . . . ∨ b

)) = {a

, . . . a

, b

. . . , b

}

zu zeigen.

4 WOHLGEORDNETE MENGEN

4 Wohlgeordnete Mengen

Definition 4.1 Eine p. o. Menge (X, ≤) erf¨ ullt die Minimalbedingung, wenn jede Teilmenge T 6= ∅ von X ein minimales Element besitzt. Eine t. o. Menge (X, ≤), welche die Minimalbedingung erf¨ ullt, heißt wohlgeordnet.

Folgerung 4.2 F¨ ur eine p. o. Menge (X, ≤) ist die Minimalbedingung gleich- wertig mit der absteigenden Kettenbedingung:

Jede Kette der Form a

≥ a

≥ a

≥ . . . mit a

∈ X wird nach endlich vielen Schritten gem¨ aß a

= a

= . . . station¨ ar.

Eine offensichtlich gleichwertige Formulierung dazu ist:

Jede echte Kette a

> a

> a

> . . . mit a

∈ X bricht nach endlich vielen Schritten ab.

Beweis: Gilt die Minimalbedingung und ist T = {a

|i ∈

} eine (echt) abstei- gende Kette in (X, ≤), so ist T 6= ∅ und besitzt daher ein minimales Element, etwa a

. Dann kann es aber kein a

∈ T mit a

> a

geben, d. h. die Kette bricht mit a

ab bzw. wird dort station¨ ar.

Gelte umgekehrt die absteigende Kettenbedingung und sei T 6= ∅ Teilmenge von X. Dann gibt es ein a

∈ T . Ist dieses Element minimal in T , so ist ein minimales Element in T gefunden. Sonst existiert ein a

∈ T mit a

> a

. Ist nun a

minimal in T , so ist ebenfalls ein minimales Element gefunden. Andernfalls f¨ ahrt man mit dieser Konstruktion einer echt absteigenden Kette fort. Diese bricht aber genau dann ab, wenn ein minimales Element in T gefunden ist.

Folgerung 4.3 Eine p. o. Menge (X, ≤) ist genau dann wohlgeordnet, wenn jede Teilmenge T 6= ∅ von X ein kleinstes Element besitzt.

Beweis: Ist (X, ≤) und T 6= ∅ Teilmenge von X, dann ist wegen der totalen Ordnung von X (und damit auch von T ) jedes minimale Element bereits ein kleinstes Element.

Wenn jede nichtleere Teilmenge von X ein kleinstes Element besitzt, dann ist

dieses Element auch minimal, d.h. (X, ≤) erf¨ ullt die Minimalbedingung Außer-

dem besitzt jede Teilmenge T = {a, b} ein kleinstes Element, d. h. es gilt a ≤ b

oder b ≤ a. Also ist (X, ≤) auch total geordnet.

Beispiel 4.4 a) Die Menge

der nat¨ urlichen Zahlen ist bez¨ uglich der nat¨ urli- chen Ordnung

m ≤ n ⇐⇒ n = m + k f¨ ur ein k ∈

wohlgeordnet.

Durch

1 < 2 < 3 < . . . < 0

wird eine andere Wohlordnung auf derselben Menge definiert. Dasselbe gilt f¨ ur 1 < 3 < 5 . . . 0 < 2 < 4 . . . .

Keine Wohlordnung wird dagegen durch

1 < 3 < 5 < . . . < 4 < 2 < 0

definiert, denn hier hat die Teilmenge der geraden Zahlen kein kleinstes Element.

b) Die Menge

der ganzen Zahlen ist bez¨ uglich der nat¨ urlichen Ordnung ≤ nicht wohlgeordnet, denn sie besitzt kein kleinstes Element.

Durch

−1 < −2 < −3 . . . < 0 < 1 < 2 . . . wird aber eine Wohlordnung auf

definiert.

Bemerkung 4.5 a) Jede Teilmenge einer wohlgeordneten Menge ist selbst wohl- geordnet.

b) Ist (X, ≤

) wohlgeordnet und f : X

→ X eine Bijektion, dann wird auch X

durch x <

y ⇐⇒ f(x) <

f (y) wohlgeordnet. Insbesondere l¨ aßt sich also jede endliche Menge {x

, . . . , x

} als bijektives Bild der endlichen Menge {1, . . . , n}

nat¨ urlicher Zahlen wohlordnen.

Im Rahmen einer axiomatischen Mengenlehre sind die folgenden Aussagen gleich- wertig:

Satz 4.6 (Wohlordnungssatz)

Jede Menge X kann wohlgeordnet werden.