Grenzwert einer Reihe

3.5 Reihen

Grenzwert einer Reihe

Konvergenz ⇔ Konvergenz der Partialsummen s =

X ∞ k=0

a _k ⇔ s = lim

n→∞

X n

k=0

a _k

notwendig: lim _n→∞ a _n = 0

Geometrische Reihe

1 + q + q ² + q ³ + · · · = 1

1 − q , | q | < 1 Harmonische Reihe

1 1 + 1

2 + 1

3 + · · · = ∞ allgemeiner: P _∞

n=1 n ^{− α} , Konvergenz ⇔ α > 1 Absolut konvergente Reihen

Konvergenz von

X ∞ n=0

| a _n |

= ⇒ Konvergenz von P _∞

n=0 a n , beliebige Umordnung der Summanden m¨oglich Majorante und Minorante einer Reihe

X

n

| b n | < ∞ = ⇒ X

n

| a n | < ∞ falls | a n | ≤ c | b n | , n ≥ n 0

umgekehrt: Divergenz von P

n | b n | = ⇒ Divergenz von P

n | a n | , falls | a n | ≥ c | b n | f¨ur alle bis auf endlich viele n

Quotientenkriterium

a n+1

a _n

≤ q ∈ (0, 1), n > n 0

= ⇒ absolute Konvergenz von P

n a n

alternativ: lim _n→∞ | a _n+1 | / | a _n | = q ∈ (0, 1) a n+1

a n

≥ 1, n > n 0

= ⇒ Divergenz von P

n a n

49

Wurzelkriterium

p

| a _n | ≤ q < 1, n > n ₀

= ⇒ absolute Konvergenz P a n

alternativ: lim n →∞

p | a n | = q < 1

p

| a _n | ≥ 1, n > n ₀

= ⇒ Divergenz von P a n

Leibniz-Kriterium

(a k ) monotone Nullfolge = ⇒ Konvergenz der alternierenden Reihe X ∞

k=0

( − 1) ^k a _k = a ₀ − a ₁ + a ₂ − a ₃ ± · · ·

Reihenrest: | P _∞

k=n+1 . . . | ≤ | a n+1 | Eulersche Zahl

n→∞ lim

1 + 1 n

n

= e = X ∞ n=0

1

n! , e = 2.71828182845905 . . .

Spezielle Reihen

X ∞ k=0

aq ^k = a + aq + aq ² + · · · = a

1 − q , | q | < 1 X ∞

k=1

( − 1) ^{k − 1} 1

k = 1 − 1

2 + 1 3 − 1

4 ± · · · = ln 2 X ∞

k=1

1

k ² = 1 + 1 2 ² + 1

3 ² + · · · = π ² 6 X ∞

k=0

1

k! = 1 + 1 1! + 1

2! + 1

3! + · · · = e

50