Geometrische Reihe Die geometrische Reihe
∞
P
k=0
qk konvergiert genau, dann wenn |q|<1.
Mit der geometrischen Summenformel
sn= 1 +q+· · ·+qn= 1−qn+1 1−q l¨asst sich der Grenzwert explizit berechnen:
∞
X
k=0
qk = lim
n→∞sn= 1 1−q f¨ur |q|<1.
1 / 3
Beispiel
Koch-Schneeflocke:
fraktale Menge generiert durch iterative Modifikation von Kanten
Ersetzen von jeder Kante durch vier neue Kanten mit einem Drittel der L¨ange in jedem Schritt
n-te Schneeflocke: 3·4n Kanten mit L¨ange 3−n
2 / 3
(i) Umfang:
Kantenzahl·Kantenl¨ange = (3·4n) (3−n) = 3 43n
→ ∞ Divergenz fraktaler Rand
(ii) Fl¨acheninhalt:
Fl¨ache: Vereinigung gleichseitiger Dreiecke (Fl¨acheninhalt (√
3/4)a2 bei Seitenl¨angea)
n-ter Schritt: zus¨atzlich 3·4n−1 gleichseitige Dreiecke mit Kantenl¨angen 3−n und Fl¨acheninhalten √
3/4 (3−n)2 Gesamtfl¨ache nachn Schritten
√3 4 +
n
X
k=1
3·4k−1
√3 4
3−k2!
=
√3
4 1 +1 3
n
X
k=1
4k−1 9k−1
!
n → ∞ geometrische Reihe mit Grenzwert
√3
4 1 +1 3
∞
X
k=0
(4/9)k
!
=
√3 4
1 +1
3 1 1−4/9
= 2√ 3
5 ≈0.6928
3 / 3
