10.1 Zahlenfolgen, Konvergenz und Grenzwert

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Kapitel 10

Elemente der

Infinitesimalrechnung

Gegenstand sind die infiniten Prozesse im Bereich der reellen Zahlen. Grob gesagt wird “das Unendliche” (ob unendlich klein oder unendlich groß) mit in die Betrach- tungen einbezogen. Anfangsgr¨unde der Infinitesimalrechnung wurden von I. Newton und – etwa zeitgleich – von G.W. Leibniz formuliert. Ausformulierung erfolgte durch A.L. Cauchy und Zeitgenossen.

10.1 Zahlenfolgen, Konvergenz und Grenzwert

Sie erinnern sich: Eine Zahlenfolge ist eine auf N definierte Funktion mit Werten in R, sofern es sich um eine reelle Folge handelt, und Werten in C, sofern es sich um eine komplexe Folge handelt. Statt a(n) f¨ur den Wert der Folge an der Stelle n, wie

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es f¨ur Funktionen ¨ublich ist, notiert manan, genannt das n-te Glied der Folge. Die Folge selber schreibt man dann auch (an) oder einfacha1, a2, . . ..

Definiton “konvergent”: Eine Folge (a_n) heißt konvergent, wenn es eine Zahl a gibt, die die Eigenschaft aufweist, dass zu jedem ε > 0 ein Nε ∈ N existiert, so dass

|an−a|< ε f¨ur alle n > Nε (10.1) Die Zahla heißt Grenzwert oderLimes der Folge, notiert

nlim→∞an =a bzw. an →a fürn → ∞ (10.2) Der Ausdruck n → ∞ ist dabei nicht zu lesen “wenn n den Wert ‘unendlich’ er- reicht” (eine Zahl mit einem solchen Wert gibt es nicht), sondern “n wächst über alle Grenzen” (es lässt sich keinN ∈N angeben, so dass für alle n gilt n≤N).

Geometrisch kann die Konvergenzbedinung f¨ur komplexe Folgen formuliert werden, dass alle Folgengliederan mit n > Nε in einer Kreisscheibe

U_ε(a) :={z ∈C| |z−a|< ε} (10.3) der sog.ε-Umgebung vonaliegen. F¨ur reelle Folgen ist dieε-Umgebung das Intervall Iε(a) :={x∈R| |x−a|< ε}.

Eine Folge mit Grenzwert 0 heißt auch Nullfolge. Die Folge (¹_n) beispielsweise ist eine Nullfolge: für vorgegebenes ε > 0 setze Nε := 1/ε. Für alle n > Nε ist dann 1/n <1/Nε=ε, wie für eine Nullfolge gefordert.

Hat man eine konvergente Folge a_n mit Grenzwert a, also a_n → a, so ist (a_n − a) offensichtlich eine Nullfolge. Eine Folge, die keinen Grenzwert aufweist, heißt

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10.1 Zahlenfolgen, Konvergenz und Grenzwert 117 divergent. Die Folge (2ⁿ), beispielsweise, ist divergent. Aber auch die Folge ((−1)ⁿ)

konvergiert nicht, gilt daher als divergent.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Seien n¨amlich a, b Grenzwerte der Folge xn und ε > 0 beliebig. Da die Folge nach Voraussetzung konvergiert gibt es ein n > N mit |x_n−a|< ε,|x_n−b|< ε, woraus

|a−b|=|(xn−b)−(xn−a)| ≤ |xn−b|+|xn−a|<2ε (10.4) folgt. Und daεbeliebig, insbesondere beliebig klein (und positiv), ista−b= 0 bzw.

a=b. qed

Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier – allgemein: endlich vieler – kon- vergenter Folgen sind gliedweise erkl¨art. Die resultierende Folge konvergiert dann gegen einen Grenzwert, der gleich der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der urspr¨unglichen Folgen ist (eine Ausnahmen ist die Division durch 0). Beispiele:

nlim→∞

! 1 + 1

n

"

= lim

n→∞1 + lim

n→∞

1

n = 1 + 0 = 1 (10.5)

lim

! n+ 1 2n+ 3

"

= limn→∞

#1 + _n¹$ limn→∞

#2 + _n³$ = 1

2 (10.6)

Das ist typisch Mathe: ausgehend von einem “Basisobjekt” (hier : Zahl) f¨uhrt man zun¨achst ein “Metaobjekt” ein (hier: Zahlenfolge), vereinbart “Metametaobjekte”

(hier: Grenzwert von Zahlenfolge), und sucht dann die Verknüpfungen, die auf der Ebene der Basisobjekte bereits eingeführt sind (hier: die Arithmetischen Operatio- nen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division), auf die Ebene der Me- taobjekte zu erweitern (hier: die “Addition” zweier Folgen wird über die bereits etablierte Addition von Folgengliedern= Zahlen definiert), so dass sich die Erweite- rung auf die Ebene der Metametaobjekte fortsetzen lässt (hier: Limes einer Summe zweier Folgen ist die Summe der Limiten der beiden einzelnen Folgen).

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Eine Folge (an) heißt

• beschr¨ankt, wenn es eine reelle Zahl K ≥0 gibt, so dass f¨ur alle Folgenglieder

|a_n| ≤K,

• monoton wachsend, wenn f¨ur alle n gilt an+1 ≥an,

• monoton fallend, wenn f¨ur alle n gilt an+1 ≤an.

Jede konvergente Zahlenfolge (an) ist beschränkt – aber Beschränktheit ist lediglich notwendige Bedingung für Konvergenz, nicht hinreichend. Die Folge (−1)ⁿ, beispielsweise ist beschränkt, aber keineswegs konvergent. Notwendig und hinreichend ist Beschränktheit allerdings für solche Folgen, die monoton wachsen oder fallen.

Folgen eignen sich auch, um Zahlenmengen zu charakterisieren. Etwa so: Eine Teil- mengeM von R oderC heißt

abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge von Elementen an ∈ M einen Grenzwert a inM hat.

beschränkt, wenn es eine Zahl R gibt, so dass |x| ≤R für alle x∈M kompakt, wenn M abgeschlossen und beschränkt ist.

Die mit Abstand nettesten Mengen sind die kompakten Mengen – in ihnen bleibt immer allles schön endlich und man stößt in ihnen nicht auf Überraschungen.¹. So ist beispielsweise jedes abgeschlossene Intervall [a, b] ⊂ R abgeschlossen (gut so –

1Eine Überraschung bietet beispielsweise die Folge (1 +n⁻¹)ⁿ. Das ist nämlich eine Folge in der Menge der rationalen Zahlen zwischen 1 und 3, und die Überraschung ist, dass der Grenzwert – die Eulerzahle– keine rationale Zahl ist. Oops . . .

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10.1 Zahlenfolgen, Konvergenz und Grenzwert 119 abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossen), und – da beschr¨ankt – auch kompakt.

Hingegen ist das rechtsseitig offene Intervall [a, b[ zwar beschr¨ankt, aber nicht abgeschlossen – der Grenzwert der Folge a+ (b−a)/2ⁿ ist b, und liegt somit nicht in [a, b[ – und somit auch nicht kompakt.

Eine reelle oder komplexe Zahl h heißt H¨aufungswert der Folge (a_n), wenn jede Umgebung Uε(h) von h unendlich viele Folgenglieder an enth¨alt, wenn also gilt

|h − an| < ε für unendlich viele n. Eine konvergente Folge hat demnach genau ihren Grenzwert als Häufungspunkt, die nicht-konvergente Folge ((−1)ⁿ) hat die Häufungspunkte 1 und −1, . . . und eine surjektive Folge N → Q hat jede(!) reelle Zahl als Häufungswert (da jedes Intervall unendlich viele rationale Zahlen enthält).

Das ist ziemlich cool – kann man doch die reellen Zahlen als die Menge aller H¨aufungswerte solcher Folgen rationaler Zahlen einf¨uhren!

Satz (Bolzano-Weierstrass): Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt mindestens einen Häufungswert. Äquivalent: Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge.

Definition “Cauchy-Folge”: Eine Folge (an) ist eineCauchy-Folge, auch genannt Fundamentalfolge, wenn es zu jeder positiven Zahl ε eine nat¨urliche Zahl Nε

gibt, so dass

|am−an|< ε für alle m, n≤Nε. (10.7) Bei einer Cauchy-Folge ziehen sich die Folgenglieder mit wachsendemnimmer mehr zusammen. Von einem Grenzwert ist dabei nicht die Rede. Es gilt aber der wichtige Satz: Eine Folge konvergiert genau dann in R (oder C) , wenn sie eine Cauchy- Folge ist (Ohne Beweis). Das ist eine wertvolle Einsicht, kann man doch über die Konvergenz (oder nicht-Konvergenz) einer Folge entscheiden ohne den Grenzwert angeben zu müssen.

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Cantor hat seinerzeit die rellen Zahlen als ¨Aquivalenzklassen von Fundamentalfolgen in den rationalen Zahlen konstruiert. Beispiel:en := (1 +_n¹)ⁿ ist eine Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen. Der Grenzwert limn→∞en := e (Eulers e = 2,71. . .) ist allerdings nicht rational – er gestattet keine endliche Bruchdarstellung – ist aber Elemet der reellen Zahlen.

10.2 Reihen

Hat man eine beliebige Folge (an), kann man daraus eine neue Folge (SN) bilden, die Folge derPartialsummen S_N =%N

n=1a_n. Hat die Folge (S_N) einen Grenzwert, notiert man

S := lim

N→∞S_N =

&∞ n=1

a_n. (10.8)

und nennt %

nan eine konvergente Reihe. Andernfalls heißt die Reihedivergent.

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10.2 Reihen 121

Beispiel f¨ur eine konvergente Reihe (mit Hilfe von Partialbruchzerlegung)

&∞ n=1

1

n(n+ 1) = & !1

n − 1

n+ 1

"

(10.9)

=

&∞ n=1

1 n −

&∞ n=1

1

n+ 1 (10.10)

= 1 +

&∞ n=2

1 n −

&∞ n=1

1

n+ 1 (10.11)

= 1 +

&∞ m=1

1 m+ 1 −

&∞ n=1

1

n+ 1 (10.12)

= 1. (10.13)

Beispiel f¨ur eine divergente Reihe ist die sog. harmonische Reihe

&∞ n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +. . .=∞. (10.14)

wobei ∞ bedeutet “es gibt keine nat¨urliche Zahl N so dass %₁

n < N”.

Reihen der Form %_∞

n=0a_nzⁿ, worin z eine beliebige komplexe (oder reelle) Zahl, heißenPotenzreihe. Eine gegebene Potenzreihe wird i.A. nicht f¨ur allezkonvergieren, sondern nur f¨ur solchezderen Betrag kleiner ist als der Konvergenzradius der Reihe.

Die geometrische Reihe beispielsweise

&∞ n=0

zⁿ = 1

1−z, |z|<1 (10.15)

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konvergiert nur f¨ur|z|<1. Es gilt n¨amlich (1−z)(1 +z+z²+· · ·+z^N⁻¹) = 1−z^N, daher 1 +z+z²+· · ·+z^N⁻¹ = ^1−z₁₋_z^N, im LimesN → ∞folgt die Behauptung sofern nur|z|<1.

Um zu entscheiden, ob eine gegebene Reihe konvergiert oder nicht greift man gerne auf einfach zu entscheidende Kriterien zur¨uck, das Majorantenkriterium beispielsweise: Existiert f¨ur eine gegebene Reihe %

an eine konvergente Reihe %

bn = B und ist|a_n| ≤b_n f¨ur fast alle n, so konvergiert auch %

a_n. Beweis via Absch¨atzung des Reihenrestes: |S−SN| = ''%^∞_n=N+1an

'' ≤ %_∞

n=N+1|an| ≤ %_∞

n=N+1bn → 0 f¨ur N → ∞.

Von praktischer Bedeutung das Quotientenkriterium: Eine Reihe %

n=1δⁿ⁻¹|a1| ist also eine Majorante von %

an. Sofern δ < 1 konvergiert die Majorante, nach dem Majorantenkriterium also auch die durch die Majorante majorisierte Reihe%

a_n.

10.3 Exponentialfunktion

Betrachte die Reihe %_∞

n=0 zⁿ

n! worin z irgendeine komplexe Zahl. Bildet man hier den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Summanden, ^|^z^|ⁿ⁺¹_|_z_|n^/(n+1)!/n! = _n+1^|^z^| erkennt man, dass es für jedeszeinN gibt (etwaN =INT(|z|), worinINT(x) die Aufrundung von x auf die nächst-größere ganze Zahl), so dass _n+1^|z| <1 für allen > N, und also die fragliche Reihe für jedesz konvergiert! Sie ist damit eine Funktion,

exp(z) :=

&∞ n=0

zⁿ

n! (10.16)

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10.3 Exponentialfunktion 123 genannt die Exponentialfunktion.

F¨ur z, w zwei komplexe Zahlen berechnet sich das Produkt exp(z) exp(w) wie folgt,

( _∞

&

m=0

z^m m!

)

·

( _∞

&

n=0

wⁿ n!

)

=

&∞ m=0

&∞ n=0

z^m m!

wⁿ

n! (10.17)

=

&∞ k=0

( _k

&

m=0

z^m m!

w^k−m (k−m)!

)

(10.18)

=

&∞ k=0

1 k!

&k

m=0

!k m

"

z^mw^k⁻^m (10.19)

= &

k=0

1

k!(z+w)^k (10.20)

kurz

exp(z)·exp(w) = exp(z+w). (10.21) Aus Gl. (10.21) folgt unmittelbar exp(z) exp(−z) = 1, und das ¨ubersetzt sich mittels () in die Identit¨at

exp(−z) = 1

exp(z) (10.22)

Abb 10.1 Die Exponentialfunktion f¨ur reelle Argumente nebst ihrer Umkehrfunk- tion ln(x) (deren Graph man durch “Spie- gelung an der Diagonalen” erh¨alt).

Die Funktionalgleichung (10.21) erinnert an die Identit¨at a^pa^q = a^p+q, und man schreibt daher

exp(z)≡e^z (10.23)

worin e die Eulerzahl,

e:= exp(1) = 2,7182818 +R , |R|<2·10⁻⁷ (10.24)

(10)

Angesichts (10.23) nennt man die Exponentialfunktion auch diee-Funktion.

Zur Berechnung von e^x mit x reell bestimmt man zunächst eine ganze Zahl g und nicht-negative reelle Zahl ξ so dass x = g+ξ, bzw. e^x = e^ge^ξ. Zur näherungswei- sen Bestimmung von e und e^ξ kann ein endlicher Abschnitt der Exponentialreihe verwendet werden. Die Abschätzung des Fehlers ergibt sich dabei wie folgt. Sei zunächst

e^x =&

k=0

nx^k

k! +Rn+1(x) (10.25)

dann gilt f¨ur|x| ≤1

|Rn+1(x)| ≤

&∞ k=n+1

|x|^k

k! = |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)!

!

1 + |x|

n+ 2 + |x|²

(n+ 2)(n+ 3) +. . .

"

(10.26)

≤ |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)!

! 1 + 1

2+ 1 2² +. . .

"

(10.27)

≤ 2 |x|ⁿ⁺¹

(n+ 1)!, (10.28)

lies: für |x| ≤1 ist der Fehlerbetrag höchstens so groß wie der doppelte Betrag des ersten weggelassenen Summanden. Verwendet man also zur Berechnung von e den Abschnitt 1 + _1!¹ + _2!¹ +. . .+ _n!¹, so ist der Fehler 0 < Rn+1(1) < _(n+1)!² . Dank der Fakultät im Nenner, konvergiert die Exponentialriehe füresehr schnell. Fürn = 10 beispielsweise istR₁₁(1)<6·10⁻⁸, bzw. ewie in Gl. (10.24) unter Berücksichtigung der Rundungsfehler angegeben.

Aus der Reihendarstellung (10.16) folgt [exp(z)]^∗ = exp(z^∗) bzw. f¨ur z =x+iy mit x, y reell,

[exp(x+iy)]^∗ = exp(x−iy) (10.29)

(11)

10.3 Exponentialfunktion 125

Insbesondere wenn z rein imagin¨ar, z =iϕ, ergibt sich

[exp(iϕ)]^∗ = exp(−iϕ) (10.30)

und also|exp(iϕ)|= 1. Da jede komplexe unimodulare Zahl dargestellt werden kann cosϕ+isinϕ liefert der Vergleich von Real- und Imagin¨arteil von exp(iϕ) mit der Darstellung exp(iϕ) = cosϕ+isinϕ die Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen f¨ur reellwertig Argumente

cosϕ =

&∞ n=0

(−1)ⁿ ϕ²ⁿ

(2n)! = 1− ϕ² 2! +ϕ⁴

4! −ϕ⁶

6! +. . . (10.31) sinϕ =

&∞ n=0

(−1)ⁿ ϕ²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! =ϕ− ϕ³ 3! +ϕ⁵

5! − ϕ⁷

7! +. . . (10.32) Der Cosinus hat im Intervall [0,2] genau eine Nullstelle, bezeichnetπ/2, also cos^π₂ = 0, angesichts cos²+ sin² = 1 auch sin^π₂ = 1. Die Euler’sche Formel liefert dann

iπ/2 = cos^π₂ +isin^π₂ =i, quadriert

e^iπ =−1 (10.33)

eine der sch¨onsten Formeln der modernen Mathematik, vereinigt sie doch Eulers e, Euklids π Gauss’ i und die negative Einheit −1.

Es spricht nichts dagegen, f¨ur die trigonometrischen Funktionen auch komplexe Ar- gumente zuzulassen. Man erweitere einfach die Definitionen, und setze f¨ur beliebiges z ∈C

cosz := e^iz+e⁻^iz

2 , sinz := e^iz −e⁻^iz

2i . (10.34)

Die Reihendarstellung ist dann wie in (10.31,10.32) nur mit ϕ ersetzt durch z.

(12)

Nach wie vor gilt hier die Euler’sche Formel

e^iz = cosz+isinz , (10.35)

der Satz des Pythagoras

cos²z+ sin²z = 1, (10.36)

und die Additionstheoreme

cos(z+w) = coszcosw−sinzsinw , (10.37) sin(z+w) = sinzcosw+ coszsinw . (10.38) Ebenso wie die trig-Funktionen k¨onne auch die Hyperbelfunktionen f¨ur komplexe Argumente definiert werden,

coshz := e^z+e⁻^z

2 , sinhz := e^z−e⁻^z

2 . (10.39)

Offensichtlich sind die Hyperbelfunktionen und die Trigonometrischen Funktionen verkn¨upft

coshz = cos(iz), sinhz =−isin(iz), (10.40) woraus sich mit Hilfe (10.38) Additionstheoreme angeben lassen,

cosh(z+w) = coshzcoshw+ sinhzsinhw (10.41) sinh(z+w) = sinhzcoshw+ coshzsinhw , (10.42) und es gilt der hyperbolische Pythagoras,

cosh²z−sinh²z = 1. (10.43)

Die Reihendarstellung entnimmt man (10.39) und Ber¨ucksichtigung von (10.16), coshz =

&∞ n=0

z²ⁿ

(2n)!, sinhz =

&∞ n=0

z²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!. (10.44)

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10.4 Aufgaben 127

10.4 Aufgaben

& Aufgabe 10-1 Zeigen Sie

n→∞lim

! n+ 1 2n+ 3

"

= 1

2. (10.45)

n→∞lim 1

n^s = 0 f¨ur jedes positivess ∈Q. (10.46)

nlim→∞

√n

a = 1 f¨ur jedes reellea >0. (10.47)

nlim→∞

√n

n = 1. (10.48)

&∞ n=1

1

4n²−1 = 1

2. (10.49)

Hinweis: Eine Partialbruchzerlegung des Summanden k¨onnte sich als n¨utzlich erwei- sen . . .

& Aufgabe 10-4

Falls Sie sich jemals gefragt haben, wie man Wurzeln zieht (vulgo “√

2 ausrechnet”) – hier ist die Antwort: mit Hilfe der Rekursion

xn+1 = 1 2

!

xn+ a xn

"

(10.51)

(14)

worin a eine vorgegebene reelle Zahl gr¨oßer Null (deren Wurzel man berechnen m¨ochte).

(a) Berechnen Sie f¨ur den Fall a= 2 und Startwert x0 = 1 die drei ersten Glieder der Folge (). Lassen Sie sich anschließend die Wurzel aus 2 von Ihrem Taschen- rechner anzeigen und vergleichen Siex3mit der Anzeige Ihres Taschenrechners.

(b) Zeigen Sie: Bei beliebig gew¨ahltem Startwert x0 > 0 gilt xn ≥ √

a und die Folge () konvergiert ab n = 1 monoton fallend gegen √

a.

(c) Zeigen Sie, dass der Fehler fn := xn−√

a abgesch¨atzt wird |fn+1| ≤ ₂^√¹_af_n². Schließen Sie, dass f¨urx3 im obigen Beispiel|x3−√

2|<2⁻⁴·10⁻⁴. Auf wieviele Stellen (hinter dem Komma) approximiert also x3 die Zahl √

2?

& Aufgabe 10-5

Man skizzieren der Funktionsgraphen der Funktion _1+z¹2 (f¨ur reelle z = x) und beweise

1 1 +z² =

&∞ n=0

(−1)ⁿz²ⁿ, |z|<1. (10.55) Warum ist hier die Einschränkung |z| <1 vorzunehmen? Was passiert für z → ±i auf der linken Seite und auf der rechten Seite der Identit—ät (10.55)?

& Aufgabe 10-6 (Pythagor¨aische Weihnachen)

Zeichnen Sie ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon), tragen die Diagonalen ein, er- halten so ein Pentagramm, und überzeugen sich davon, dass hier gilt

Diagonale : Seite = Seite : (Diagonale − Seite) (10.56)

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10.4 Aufgaben 129 Hinweis: Die Diagonalen bilden in der Mitte wiederum ein Pentagon – hilft das

weiter?

Benennen Sie

g := Diagonale : Seite (10.57)

und zeigen dass g nicht rational.

Die Zahl g nennt man den goldenen Schnitt. Betrachten Sie zum Startwert x₀ = 1 die Folge

xn+1 = 1 + 1 xn

(10.58) und zeigen Sie lim_n→∞x_n =g mit

g = 1 2

*1 +√ 5+

. (10.59)

Gehen Sie auf Wikipedia, und lesen dort unter dem Stichwort “Pythagor¨aer” und

“Goldener Schnitt” nach, was es mit den beiden auf sich hat.

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