Cauchy-Kriterium Eine Folge (an

Cauchy-Kriterium

Eine Folge (an) konvergiert genau dann, wenn f¨ur alle ε >0 ein nε

existiert, so dass

|a_j −a_k|< ε f¨ur alle j,k >n_ε.

Mit Hilfe dieses auf Cauchy zur¨uckgehenden Kriteriums ist der Nachweis der Konvergenz ohne Kenntnis des Grenzwerts m¨oglich.

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Beweis

(i) Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums:

Definition des Grenzwerts =⇒

a= lima_n ⇐⇒ |a_m−a|< ε f¨urm>m_ε

nε=m_ε/2 =⇒

|a_j −a_k| ≤ |a_j −a|+|a−a_k|< ε/2 +ε/2 =ε f¨rj,k>n_ε

(ii) Cauchy Kriterium hinreichend:

Der Beweis benutzt die Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen.

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Beispiel

Geometrische Konvergenz ( =⇒ Cauchy-Kriterium):

|a_n+1−an| ≤cqⁿ, q ∈[0,1)

(i) Folgerung des Cauchy-Kriteriums aus der geometrischen Konvergenzbedingung:

Bedingung, Formel f¨ur die geometrische Reihe P∞

k=0q^k =⇒

|a_j−ak| ≤ |a_j −aj+1|+|a_j+1−aj+2|+· · ·+|a_k−1−ak|

≤ cq^j(1 +q+q²+· · ·)≤ cq^j 1−q f¨ur j <k

rechte Seite< ε f¨urj,k >nε= ln^ε(1−q)_c /lnq, denn

cq^j

1−q < ε ⇐⇒ q^j < ε(1−q)

c ⇐⇒ j lnq

|{z}

<0

<ln(ε(1−q)/c)

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(ii) Anwendung auf rekursiv definierte Folgen:

Beispiel: an=√

2 +an−1, a0= 1

zeige geometrische Konvergenz mit vollst¨andiger Induktion Induktionsanfang (n= 0):

|a₁−a0| ≤c c =|a₁−a0| Induktionsschluss (n→n+ 1):

Umformung der Differenz mit Hilfe der dritten binomischen Formel

|a_n+1−a_n|=|√

2 +a_n−p

2 +an−1|=

a_n−an−1

√2 +a_n+√

2 +an−1

Induktions-Voraussetzung |a_n−an−1| ≤cqⁿ⁻¹,ak ≥0

|a_n+1−an| ≤ 1 2√

2cqⁿ⁻¹ =cqⁿ

bei Wahl von q = 1/(2√ 2)

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