L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 6 ¨
Tschebyscheff und Cauchy-Schwarz Ungleichungen
Aufgabe 6.1 (Die geometrische Verteilung). (4 Punkte) (a) SeiX eine Zufallsgr¨oße mit Werten inN.X heißeged¨achtnislos, wenn
P(X =n+k|X > n) = P(X =k) ∀n, k∈N.
Zeige, dassX genau dann ged¨achtnislos ist, wenn es eine geometrische Verteilung besitzt.
(b) Seien X und Y unabh¨angig und geometisch verteilt zum selben Parameter p∈ ]0,1]. Be- stimme die Verteilung von Z =X +Y und entscheide, ob es Konstantena∈R, q∈ ]0,1]
gibt, so dassZ−awieder geometrisch verteilt ist. Bestimme gegebenenfallsaundq.
(c) Seienp, q ∈ ]0,1] und N geometrisch verteilt zum Parameter p. Sei X = PN
k=1Xk, wobei die Xk unabh¨angig voneinander und von N sind, und eine geometrische Verteilung zum Parameter q besitzen. D.h. X ist eine Summe unabh¨angiger, geometrischer Zufallsgr¨oßen, aber die Anzahl der Summanden ist zuf¨allig und gegeben durchN. Bestimme die gemeinsame Massefunktion von (N, X), zeige, dass das MarginalXgeometrisch verteilt ist und bestimme den Parameter.
Aufgabe 6.2 (Ungleichungen). (4 Punkte)
(a) Entscheide jeweils (durch Angabe eines Beispiels oder Beweis der Unm¨oglichkeit), ob es eine Zufallsgr¨oßeX ≥0 mit folgenden Eigenschaften gibt:
i. E(X)≤10−5, Var(X)≥105undP(X ≥1)≤ 12. ii. E(X)≥105, Var(X)≤10−5undP(X ≥1)≥ 12. iii. E(X)≥105, Var(X)≤10−5undP(X ≥1)≤ 12. iv. E(X) =12, Var(X)≥105 undP(X≥1)≥12.
(b) Sei X eine Zufallsgr¨oße mit E(X2) <∞, Med(X) der Median (siehe ¨Ubungsblatt 5) und σ(X) die Standardabweichung vonX. Zeige, dass
Med(X)−E(X)
≤σ(X).
Hinweis:Verwende die Cauchy-Schwarz Ungleichung und eine Eigenschaft des Medians, die in Aufgabe 5.3 gezeigt wurde.
(c) SeiE(X2),E(Y2)<∞. Zeige, dass in der Cauchy-Schwarz Ungleichunggenaudann Gleich- heit gilt, wenn es eine Konstantea∈Rgibt mitP(Y =aX) = 1, oder wennP(X = 0) = 1.
Hinweis: Gehe den Beweis aus der Vorlesung durch und ¨uberlege, warum nur im linear abh¨angigen Fall Gleichheit gelten kann.
Bitte wenden!
Aufgabe 6.3 (Summen & Indikatorvariablen). (4 Punkte) Sein∈N undX1, X2, . . . , Xn Zufallsgr¨oßen mitE(Xk2)<∞undSn:=Pn
k=1Xk. (a) Zeige, dass Var(Sn) =
n
X
i=1 n
X
j=1
Cov(Xi, Xj).
F¨ur den Rest der Aufgabe nehmen wir an, dass die Xk, k = 1, . . . , n, nur die Werte 0 und 1 annehmen. Solche Zufallsgr¨oßen heißen auchIndikatorvariablen.
(b) Zeige, dass ausE(X1X2) =E(X1)E(X2) (also Unkorreliertheit) die Unabh¨angigkeit vonX1
undX2folgt.
(c) Bestimme (f¨ur festesn) den maximal m¨oglichen Wert f¨ur Var(Sn).
(d) Nun sei zus¨atzlichngerade undP(Xk= 1) = 12f¨ur allek. Bestimme den kleinsten m¨oglichen Wert f¨ur Var(Sn).
Aufgabe 6.4 (Ein Gesetz der großen Zahl). (4 Punkte)
Eine M¨unze mit Wahrscheinlichkeit p ∈ ]0,1[ f¨ur Kopf (K) werde n ∈ N mal geworfen und die Ergebnise hintereinander aufgeschrieben (z.B. n = 7, Ergebnis KZZZKZZ). Ein Block ist ein maximaler, entweder nur aus K oder nur aus Z bestehender Bereich (im Beispiel also K, dann ZZZ, dann K, dann ZZ). SeiXn die Anzahl der Bl¨ocke (im BeispielX7= 4).
(a) BestimmeE(Xn).
Hinweis: Schreibe Xn als Summe geeigneter (nicht notwendig unabh¨angiger) Indikatorva- riablen.
(b) Bestimme Var(Xn).
Hinweis:Zum Weiterrechnen:E(Xn) = 2p(1−p)n+c1,Var(Xn) =c2n+c3 f¨ur geeignete (von nunabh¨angige) Konstanten c1, c2, c3∈R.
(c) Zeige, dass f¨ur jedesε >0
n→∞lim P
1
n Xn−E(Xn) ≥ε
= 0.
Hinweis:Verwende eine geeignete Ungleichung aus der Vorlesung.
(d) Zeige, dass f¨ur jedesε >0
nlim→∞
P
1
nXn−2p(1−p) ≥ε
= 0.
Abgabe bis sp¨atestens Di, 26.11. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am26.11.gibt Patricia Alonso-Ruiz (Universit¨at Ulm) einen Vortrag ¨uber
Dirichlet form and Laplacian on fractal quantum graphs via resistance forms
Abstract: Resistance forms have turn out to be very useful in the study of analysis on fractals from an intrinsic point of view. Under a suitable choice of a measure, they provide a Dirichlet form on the space and thus a Laplacian on it.
In this talk we introduce fractal quantum graphs, which generalize classical quantum graphs and also include fractal sets like Hanoi attractors. We present in detail the construction of a Dirichlet form on any Hanoi attractor by means of resistance forms. We will also discuss the spectral asymptotics of the Laplacian associated to this Dirichlet form and if time allows it, we will point out some questions concerning the Einstein relation.
This is joint work with D. Kelleher and A. Teplyaev from the University of Connecticut.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
