Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 4
Zusatzaufgabe 5. Seien (X, dX) und (Y, dY) metrische R¨aume, D ⊆ X eine Teil- menge, die dicht in X ist in dem Sinne, dass D =X, und sei f:D → Y gleichm¨aßig stetig und (Y, dY) vollst¨andig. Zeigen Sie:
(a) Sei (xn)n eine Cauchy-Folge inD. Dann ist (f(xn))n eine Cauchy-Folge inY. L¨osung: Sei >0 gegeben. Daf gleichm¨aßig stetig ist, existiert einδ >0 mit
dX(x, x0)< δ ⇒ dY(f(x), f(x0))< .
Nach Annahme existiert einN mitdX(xn, xm)< δf¨ur allen, m≥N, und es folgt dY(f(xn), f(xm))< f¨ur alle n, m≥N.
(b) Es gibt genau eine stetige Funktion F: X → Y, die f fortsetzt, also F|D = f erf¨ullt, und dieses F ist gleichm¨aßig stetig.
L¨osung: Eindeutigkeit: Seix ∈X. Da D dicht ist, existiert eine gegen x konver- gente Folge (xn)n inDund dann muss F(x) = limnf(xn) gelten.
Existenz: Sei x ∈ X. Dann gibt es eine gegen x konvergente Folge (xn)n in D.
Diese ist eine Cauchy-Folge. Nach (a) ist auch (f(xn))neine Cauchy-Folge. DaY vollst¨andig ist, konvergiert diese gegen ein y∈Y.
Ist (x0n)n eine weitere gegen x konvergente Folge in D, so konvergiert auch die Folge (x1, x01, x2, x02, . . .) gegen x, ist also eine Cauchy-Folge und wird durch f nach (a) auf eine Cauchy-Folge abgebildet. Somit ist limnf(xn) = limnf(x0n) und y=:F(x) unabh¨angig von der Wahl der Folge (xn)n.
Gleichm¨aßige Stetigkeit von F: Sei > 0 gegeben. Da f gleichm¨aßig stetig ist, gibt es einδ >0 mit
dX(x, x0)< δ ⇒ dY(f(x), f(x0))< /3.
Seien x, x0 ∈ X mit dX(x, x0) < δ/3. Da D dicht ist, finden wir d, d0 ∈ D mit dX(x, d)< δ/3 unddX(x0, d0)< δ/3. Es folgtdX(d, d0)< δund dY(f(d), f(d0))<
/3. Nach Konstruktion vonF folgt auchdY(F(x), f(d))< /3 unddY(F(x0), f(d0))<
(3) und somitdY(F(x), F(x0))< .
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