Aufgabe XI.2 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 1 Blatt XI vom 08.01.15

Aufgabe XI.1

Fürn∈Nsei die Funktionenfolge f_n:R→Rdefiniert durch

fn(x) =







1, x≥ _n¹ nx, x∈ −¹_n,_n¹

−1 x≤ −_n¹ .

Untersuchen Sief_n auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Geben Sie gegebenen- falls die Grenzfunktion an.

Aufgabe XI.2

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.

a) lim

x→1 x³−1 x²−1, b) lim

x→∞

px+√ x−√

x.

Aufgabe XI.3

SeienI ⊂Rund fürn∈Nf_n:I →R beschränkt.

a) Sei die Funktionenfolge(fn)eine Cauchy-Folge bezüglich der Supremumsnorm, d.h.

zu jedemε >0 existiert einn₀ ∈Nderart, dass kf_n−f_mk< εfür n, m≥n₀. (i) Zeigen Sie, dass es eine Funktion f :I → R gibt, sodass für jedesx ∈ I die

Funktionenfolge (fn(x))gegenf(x) konvergiert.

(ii) Beweisen Sie, dass die Funktion f :I →R beschränkt ist.

(iii) Zeigen Sie, dasskf_n−fk →0 fürn→ ∞ gilt.

b) Sei (f_n) gleichmäßig konvergent gegen eine beschränkte Funktionf :I →R. Zeigen Sie, dass (fn) eine Cauchy-Folge bezüglich der Supremumsnorm ist.