Aufgabe IV.2 Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen eine Kontraktion bzgl

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 2 Blatt IV vom 30.04.15

Aufgabe IV.1

Sei(X, d) ein metrischer Raum,A⊂X und x∈X\Aderart, dass dist(x, A) = 0.

Zeigen Sie, dass xein Randpunkt von A ist.

Aufgabe IV.2

Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen eine Kontraktion bzgl. der euklidischen Metrik sind:

f :R²→R², f(x) = 1

2(sin(x1),cos(x2)), g:R²→R², g(x) = 1

2(x1+x2, x2).

Aufgabe IV.3

Definition: Sei(X, d) ein metrischer Raum. Eine Menge M ⊂X heißt zusammenhän- gend, falls für je zwei offene MengenO₁,O₂⊂X mit den Eigenschaften

M ⊂(O₁∪ O₂), M∩ O₁6=∅, M∩ O₂6=∅ gilt: M∩ O₁∩ O₂ 6=∅.

a) Seien X und Y zwei metrische Räume undf :X →Y stetig. Zeigen Sie, dass für jede zusammenhängende MengeA⊂X auchf(A) zusammenhängend ist.

b) Seien A, B⊂X zusammenhängend mitA∩B 6=∅. Beweisen Sie, dass dann auch A∪B zusammenhängend ist.