Aufgabe 7.2 Zeigen Sie, dass im Satz von Banach &amp

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

2. Juni 2008 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

QQ QQ

Funktionalanalysis 7. Übungsblatt

Aufgabe 7.1 Zeigen Sie, dass jeder TeilraumY eines separablen metrischen RaumesXwieder separabel ist.

Aufgabe 7.2 Zeigen Sie, dass im Satz von Banach & Steinhaus (Satz 7.5) nicht auf die Voll- ständigkeit von(X,k · k) verzichtet werde kann. Betrachten Sie zum Beispiel

T_j:c_e−→c_e, (x_n)_n∈N7−→(x₁,2x₂, ..., jx_j,0, ...) (j∈N).

Aufgabe 7.3 Auf einem K-Vektorraum X seien zwei Normen k · k₁ und k · k₂ erklärt und bezüglich beider Normen sei X vollständig. Zeigen Sie: Existiert ein C > 0 mit kxk₁ ≤ Ckxk₂ für alle x∈X, so sind beide Normen äquivalent.

Aufgabe 7.4 Seien X,Y normierteK-Vektorräume. Zeigen Sie:

(i) IstK:X−→Y eine Kongruenz, so istK⁰:Y⁰ −→X⁰ eine Kongruenz.

(ii) Sind die Räume X undY kongruent, so gilt:

X reexiv =⇒ Y reexiv.

Abgabetermin: Montag 09. Juni 2008, vor 10:00 Uhr in die Briefkästen bei F411.