Aufgabe 1: (4+4 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

LEHRSTUHL II F ¨ UR MATHEMATIK DER RHEINISCH – WESTF ¨ ALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN

Prof. Dr. Eberhard Triesch

Aachen, den 04.03.2003

Klausur zur Vorlesung H¨ ohere Mathematik II Fr¨ uhjahr 2003

Aufgabe 1: (4+4 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

a) lim

x→∞

ln ² (1 + x)

x ² b) lim

x→ 0 (cosh x)

Aufgabe 2: (4+4 Punkte) Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale:

a) Z ln(8)

ln(3)

e ^x

1 + e ^x dx b) Z 1

0

arctan(x) dx

Aufgabe 3: (8 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion f : R ² → R gegeben durch f (x, y) =







x ² − y ² p x ² + y ² · sin

1 p x ² + y ²

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Aufgabe 4: (3+2+3 Punkte) Gegeben sei die Kurve Γ 1 durch γ 1 : [0, 1] → R ² mit γ ₁ (t) =

Z ^t t

0

2 (1 + x) ² dx

! .

a) Bestimmen Sie – ohne ein Integral zu berechnen – den Radius und den Mittelpunkt des Kr¨ummungskreises C Γ

(γ 1 (1)) = C Γ

((1, 1) ^T ).

b) Berechnen Sie Z ^t

0

2

(1 + x) ² dx.

c) Gegeben sei die Kurve Γ 2 durch γ 2 : [0, 1] → R ² mit γ 2 (t) = (1 − t, 1 − t) ^T . Die Vereinigung der Kurven Γ 1 und Γ 2 ergibt eine geschlossene Randkurve Γ. Bestimmen Sie den orientierten Fl¨acheninhalt A(G), der durch Γ eingeschlossen wird, indem Sie die Formel A(G) = R 1

0 − ψ ˙ ₁ (t)ϕ 1 (t) dt + R 1

0 − ψ ˙ ₂ (t)ϕ 2 (t) dt verwenden f¨ur γ ₁ (t) = (ϕ ₁ (t), ψ ₁ (t)) ^T und γ ₂ (t) = (ϕ ₂ (t), ψ ₂ (t)) ^T .

Aufgabe 5: (8 Punkte) Bestimmen Sie f¨ur die Funktion f : R ² → R mit f (x) = f (x 1 , x 2 ) = cos(x 1 x ₂ ) + x ₁ x ² ₂ das Taylorpolynom 1. Ordnung T ₁ (x, a; f) bzgl. des Entwicklungspunktes a = (π, 1) ^T , und zeigen Sie, dass die Restgliedabsch¨atzung |R 1 (x, a; f)| = |f(x) − T 1 (x, a; f)| ≤

200 1 π ² + 11 500 π + 201 5000 f¨ ur alle x ∈ U = {x ∈ R ² | |x ⁱ − a i | ≤ 1

10 , i = 1, 2} g¨ultig ist.

Aufgabe 6: (8 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R ² → R , f (x, y) = 4x ² + 2xy − 2y.

a) Bestimmen Sie die relativen Extrema und Sattelpunkte von f.

b) Gegeben sei der Bereich B := {(x, y) ^T ∈ R ² |y − 1

2 x ≤ − 3

2 ∧ 2y + 11 ≥ 2x ² + x}. Wo

nimmt f auf B seinen minimalen und wo seinen maximalen Funktionswert an?