Aufgabe 1: 4 Punkte

(1)

Prof. Dr. L. Diening, S. Schwarzacher, F. Gmeineder, H. Irl 25.04.2012

Numerik 2 — Blatt 2 Abgabe: Mittwoch, den 2. Mai vor der Vorlesung

Aufgabe 1: 4 Punkte

Seien a, b, c ∈ R reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass sich die Differentialgleichung x ⁰ = g (at + bx (t) + c), durch geeignete Substitution, in eine autonome Diffe- rentialgeichung transformieren l¨ asst. Wenden Sie diese Methode an, um eine L¨ osung der Differentialgleichung

x ⁰ (t) = 1 − 1

cos (x (t) − t + π/2) zu bestimmen.

Aufgabe 2: 2+2+2=6 Punkte

L¨ osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit Anfangsbedingung x (1) = 0:

(a) x ⁰ (t) = 1 + ^x(t) _t + ^x(t) _t

2²

(b) x ⁰ (t) = (t + x (t) − 1) ² (c) x ⁰ (t) = x/t +

q

1 − (x (t) /t) ²

Aufgabe 3: 2+5 Punkte

F¨ ur ein Intervall I ⊂ R sei eine stetige Funktion f : I → R gegeben.

Wir betrachten das AWP

x ⁰ (t) = f (t) x (t) , x (t 0 ) = x 0 . (a) Geben Sie eine explizite L¨ osungsformel an.

(b) Die k-te Picard-Iterierte des Anfangswertproblems x ⁰ (t) = f (t) x (t), x (t 0 ) = x 0 hat die Form

u k = x 0 k

X

j=0

1 j!





t

Z

t

0

f (τ) dτ





j

f¨ ur k ∈ N .

Zeigen Sie, u _k konvergiert gegen die L¨ osung des AWP.

Aufgabe 4: 3 Punkte

Definiere die folgenden Abbildungen δ 0 , J p : (C ([0, 1] , R ); R )) f¨ ur p ≥ 1:

δ ₀ (f ) = f (0) , J _p (f ) =

1

Z

0

|f (x) | ^p dx

Zeigen Sie, dass δ 0 und J 1 Lipschitz-stetig sind. Weisen Sie nach, dass J p f¨ ur

p > 1 stetig ist, allerdings nicht Lipschitz-stetig.

Aufgabe 1: 4 Punkte

Prof. Dr. L. Diening, S. Schwarzacher, F. Gmeineder, H. Irl 25.04.2012

Numerik 2 — Blatt 2 Abgabe: Mittwoch, den 2. Mai vor der Vorlesung

Aufgabe 1: 4 Punkte

Seien a, b, c ∈ R reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass sich die Differentialgleichung x 0 = g (at + bx (t) + c), durch geeignete Substitution, in eine autonome Diffe- rentialgeichung transformieren l¨ asst. Wenden Sie diese Methode an, um eine L¨ osung der Differentialgleichung

x 0 (t) = 1 − 1

cos (x (t) − t + π/2) zu bestimmen.

Aufgabe 2: 2+2+2=6 Punkte

L¨ osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit Anfangsbedingung x (1) = 0:

(a) x 0 (t) = 1 + x(t) t + x(t) t

(b) x 0 (t) = (t + x (t) − 1) 2 (c) x 0 (t) = x/t +

q

1 − (x (t) /t) 2

Aufgabe 3: 2+5 Punkte

F¨ ur ein Intervall I ⊂ R sei eine stetige Funktion f : I → R gegeben.

Wir betrachten das AWP

x 0 (t) = f (t) x (t) , x (t 0 ) = x 0 . (a) Geben Sie eine explizite L¨ osungsformel an.

(b) Die k-te Picard-Iterierte des Anfangswertproblems x 0 (t) = f (t) x (t), x (t 0 ) = x 0 hat die Form

u k = x 0 k

X

j=0

1 j!





t

Z

t

f (τ) dτ





j

f¨ ur k ∈ N .

Zeigen Sie, u k konvergiert gegen die L¨ osung des AWP.

Aufgabe 4: 3 Punkte

Definiere die folgenden Abbildungen δ 0 , J p : (C ([0, 1] , R ); R )) f¨ ur p ≥ 1:

δ 0 (f ) = f (0) , J p (f ) =

1

Z

0

|f (x) | p dx

Zeigen Sie, dass δ 0 und J 1 Lipschitz-stetig sind. Weisen Sie nach, dass J p f¨ ur

p > 1 stetig ist, allerdings nicht Lipschitz-stetig.

Seien a, b, c ∈ R reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass sich die Differentialgleichung x ⁰ = g (at + bx (t) + c), durch geeignete Substitution, in eine autonome Diffe- rentialgeichung transformieren l¨ asst. Wenden Sie diese Methode an, um eine L¨ osung der Differentialgleichung

x ⁰ (t) = 1 − 1

(a) x ⁰ (t) = 1 + ^x(t) _t + ^x(t) _t

(b) x ⁰ (t) = (t + x (t) − 1) ² (c) x ⁰ (t) = x/t +

1 − (x (t) /t) ²

x ⁰ (t) = f (t) x (t) , x (t 0 ) = x 0 . (a) Geben Sie eine explizite L¨ osungsformel an.

(b) Die k-te Picard-Iterierte des Anfangswertproblems x ⁰ (t) = f (t) x (t), x (t 0 ) = x 0 hat die Form

Zeigen Sie, u _k konvergiert gegen die L¨ osung des AWP.

δ ₀ (f ) = f (0) , J _p (f ) =

|f (x) | ^p dx