Konvergenz gegen a :∀

© www.goldsilberglitzer.at - 1 - admin-x@goldsilberglitzer.at

Merkzettel „Folgen und Reihen“

22.2.2016

Folgen reeller Zahlen:

Konvergenz gegen a :∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : ∀ 𝑛 ≥ N(𝜀) : |𝑎

_𝑛

− 𝑎| < 𝜀 )

𝑛→∞

lim (1 + 1 𝑛 )

𝑛

Cauchy-Folge: ∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : ∀ 𝑚, 𝑛 ≥ N(𝜀) : |𝑎

_𝑚

− 𝑎

_𝑛

| < 𝜀 ) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt = 𝑒

Jede reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist, da ∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : |𝑎

_𝑛

− 𝑎

_𝑚

| ≤ |𝑎

_𝑛

− 𝑎| + |𝑎

_𝑚

− 𝑎| < 2𝜀 ) Divergenz: ∃𝜀 > 0: (∀𝑁: ∃ 𝑛 ≥ 𝑁: |𝑎

_𝑛

− 𝑎| ≥ 𝜀 ) Bestimmte Konvergenz gegen ∞: ∀𝐾 ∈ ℝ

₊

: ∃𝑁 = N(𝐾) : ∀ 𝑛 ≥ N(𝐾) : 𝑛 ≥ 𝑁 Bolzano-Weierstrass: Jede beschränkte unendliche Teilmenge von ℝ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Häufungspunkt: Ein Punkt ist ein Häufungspunkt, wenn in jeder beliebig kleinen ε-Umgebung unendlich viele Punkte liegen.

Wichtige Summenformeln:

Geometrische Summe q≠1 Arithmetische Summe Quadratische Summe Binomischer Lehrsatz

∑ 𝑞

^𝑘

𝑛

𝑘=0

= 1 − 𝑞

^𝑛+1

1 − 𝑞 bei q=1

∑=(n+1) ∑ 𝑘

𝑛

𝑘=1

= 1

2 𝑛(𝑛 + 1) ∑ 𝑘²

𝑛

𝑘=1

= 1

6 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) (𝑥 + 𝑦)

^𝑛

= ∑ ( 𝑛 𝑘) 𝑥

^𝑛−𝑘

𝑦

^𝑘

𝑛

𝑘=0

= ∑ ( 𝑛 𝑘) 𝑥

^𝑛

𝑦

^𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

Wichtige konvergente Reihen:

Diverse konvergente nicht-alternierende Reihen

∑ 1

𝑛

^𝑚

∞

𝑛=1

; 𝑚 ≥ 2 ∑ 1 𝑚

^𝑛

∞

𝑛=1

; 𝑚 > 1 ∑ 1 𝑛(𝑛 + 1)

∞

𝑛=1

∑ 1

𝑘

²

∞

𝑘=1

= 𝜋

²

6 ∑ 𝑥

^𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

= 𝑒

^𝑥

∑ 𝑥

^2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

= sinh 𝑥 ∑ 𝑥

^2𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

= cosh 𝑥

∑ 𝑞

^𝑘

∞

𝑘=0

= 1

1 − 𝑞

(0 < |𝑞| < 1)

∑ (2𝑛 − 1)‼

(2𝑛)!!

𝑥

^2𝑛+1

2𝑛 + 1

∞

𝑛=1

= arcsin 𝑥 ∑ 𝑥

^2𝑛+1

2𝑛 + 1

∞

𝑛=0

= artanh 𝑥 ∑ ( 𝑐 𝑛 ) 𝑥

^𝑛

∞

𝑛=0

= (1 + 𝑥)

^𝑐

„geom. Reihe“

Diverse konvergente alternierende Reihen

∑(−1)

^𝑛

𝑥

^2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

= sin 𝑥 ∑(−1)

^𝑛

𝑥

^2𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

= cos 𝑥 ∑(−1)

^𝑛−1

𝑥

^𝑛

𝑛

∞

𝑛=1

= ln(1 + 𝑥) ∑(−1)

^𝑛

𝑥

^2𝑛+1

2𝑛 + 1

∞

𝑛=0

= arctan(𝑥) ∑(−1)

^𝑛

1 𝑛

∞

𝑛=0

= ln 2 Konvergenzbedingungen:

Nicht-alternierende Reihen ∑a

n

(Notwendige Konvergenzbedingung: lim

_𝑛→∞

𝑎

_𝑛

= 0) : Konvergente Majorante ∑m

n

Konvergenz, wenn fast alle Glieder 0 ≤ 𝑎

_𝑛

≤ 𝑚

_𝑛

∑ 1 𝑛

∞

𝑛=1

("ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑅𝑒𝑖ℎ𝑒", 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) Divergente Minorante ∑m

n

Divergenz, wenn fast alle Glieder 𝑎

_𝑛

≥ 𝑚

_𝑛

Quotientenkriterium: 𝑟 = lim

_𝑘→∞

|

^𝑎𝑘+1

𝑎𝑘

| Wurzelkriterium: 𝑟 = lim

𝑘→∞^𝑘

√|𝑎

_𝑘

| r<1 … abs. Konv.; r>1 … Divergenz abs. Konverg.: ∑∣a

k

∣ = konv Integral-Kriterium: Sei f(𝑥) auf [m,∞] positiv und monoton fallend. Dann: (∫ f(𝑥) 𝑑𝑥

_𝑚^∞

𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡) ⟺ (∑

^∞_𝑘=𝑚

f(𝑘) 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡) Alternierende Reihen ∑a

n

: Leibnitz-Kriterium: ∑a

n

konvergent, wenn (lim

𝑛→∞

|𝑎

_𝑛

| = 0) ˄ (|𝑎

_𝑛

| 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛)

Diverses:

Potenzreihe Cauchy’sche Produktreihe

p(𝑧) = ∑ 𝑎

_𝑛

𝑧

^𝑛

∞

𝑛=0

Konvergent wenn |𝑧| < 𝑅 mit 𝑅 =

¹

lim𝑛→∞^𝑛√|𝑎𝑛|

bzw. 𝑅 =

¹

lim𝑛→∞|^𝑎𝑛+1_𝑎𝑛|

∑ 𝑎

_𝑘

∞

𝑘=0

= 𝑎; ∑ 𝑏

_𝑘

∞

𝑘=0

= 𝑏 → ∑ ∑ 𝑎

_𝑘−𝑙

𝑏

_𝑙

𝑘

𝑙=0

∞

𝑘=0

= 𝑎𝑏

Funktionenreihe Punkteweise konv.: ∀𝑥 ∈ 𝐼: ∃ lim

_𝑛→∞

{f

𝑛

(𝑥)} Gleichm. konv.: lim

𝑛→∞

sup

_𝑥∈𝐼

|f

_𝑛

(𝑥) − f(𝑥)| = 0; f(𝑥) = lim

𝑛→∞

f

_𝑛

(𝑥) Taylor-Entwickung und Taylor-Reihen:

Entwicklung

an x

0

: f(𝑥) = ∑ f

^(𝑛)

(𝑥

0

) 𝑛! (𝑥 − 𝑥

0

)

^𝑛

∞

𝑛=0

= f(𝑥

₀

) + f

^′

(𝑥

0

)

1! (𝑥 − 𝑥

0

) + f

^′′

(𝑥

0

)

2! (𝑥 − 𝑥

0

)

²

+ ⋯ + f

^(𝑛)

(𝑥

0

)

𝑛! (𝑥 − 𝑥

0

)

^𝑛

+ R

_𝑛+1

(𝑥) Entwicklung

an x

0

=0: f(𝑥) = ∑ f

^(𝑛)

(0) 𝑛! 𝑥

^𝑛

∞

𝑛=0

= f(0) + f

^′

(0)

1! 𝑥 + f

^′′

(0)

2! 𝑥

²

+ ⋯ + f

^(𝑛)

(0)

𝑛! 𝑥

^𝑛

+ R

_𝑛+1

(𝑥) Restglied nicht-

alternierende Reihe:

R

_𝑛+1

(𝑥) = f

^(𝑛+1)

(𝑥

₀

+ 𝜗ℎ)

(𝑛 + 1)! ℎ

^𝑛+1

= 1

𝑛! ∫ f

^(𝑛+1)

(𝑡) (𝑥 − 𝑡)

^𝑛

𝑑𝑡

𝑥

𝑥0

= 𝒪(|ℎ|

^𝑛+1

) ; ℎ = 𝑥 − 𝑥

₀

; 𝜗 ∈ (0,1) Restglied alternierende Reihe: |𝑅

_𝑛+1

(𝑥)| ≤ 𝑎

_𝑛+1

Konvergenzradius: 𝑟 = lim

_𝑛→∞

|

_𝑎^𝑎𝑛

𝑛+1

| Fourier-Reihen:

f(𝑥) = 𝑎

₀

+ ∑

^∞_𝑛=1

(𝑎

_𝑛

cos 𝑛𝑥 + 𝑏

_𝑛

sin 𝑛

_𝑥

) = 𝑎

₀

+ ∑

^∞_𝑛=1

𝐴

_𝑛

sin(𝑛𝑥 + 𝜑

_𝑛

) 𝐴

_𝑛

= √𝑎

_𝑛²

+ 𝑏

_𝑛²

; 𝜑

_𝑛

= arctan

^𝑎_𝑏^𝑛

𝑛

Periode 2π: 𝑎

₀

=

¹

2𝜋

∫ f(𝑥) 𝑑𝑥

₀^2𝜋

; 𝑎

_𝑛

=

¹

𝜋

∫ f(𝑥)

₀^2𝜋

cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥; 𝑏

_𝑛¹

𝜋

∫ f(𝑥)

₀^2𝜋

sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 Periode T: 𝑎

₀

=

¹

𝑇

∫ … 𝑎

𝑛

; 𝑏

_𝑛

=

²

𝑇

∫ …

Bei geraden Funktionen f(-x)=f(x) nur cos(nx), bei ungeraden Funktionen f(-x)=-f(x) nur cos(nx)-Terme.