Hausaufgaben Übung? AnalysisI

Prof.Dr.UlrihKohlenbah

PDDr.AhimBlumensath

MSEyvindBriseid

Wintersemester2009/2010

Analysis I

Übung 

Aufgabe 

Zeigen Sie, daß eine Folge(an)n∈Ngenau dann konvergiert, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt.

Lösung. (⇒)Angenommen,(an)n∈Nkonvergiert gegena. Dann gibt es einN ∈ Nmit∣an−a∣ < für allen ≥ N. Seibdas Minimum vona^, . . . ,a^Nund a−, und seicdas Maximum vona^, . . . ,a^N und a+. Dann gilt

b≤an≤c für allen∈N. Also ist(an)n∈Nbeschränkt.

Wir zeigen, daßader einzige Häufungspunkt von(an)n∈Nist. Offensichtlich istaein Häufungspunkt, da(an)n∈Neine Teilfolge von sich selber ist und gegenakonvergiert. Sei umgekehrt(an_k)k∈Neine be- liebige Teilfolge. Dann konvergiert auch(an_k)k∈Ngegena. Also kann es keinen anderen Häufungspunkt geben.

(⇐)Sei(an)n∈Nbeschränkt und seiader einzige Häufungspunkt. Wir zeigen, daß(an)n∈Ngegena konvergiert. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt es einε >, so daß für beliebig große In- dizesngilt∣an−a∣ ≥ ε. Sei(ank)k∈Ndie Teilfolge aller Elemente mit∣ank −a∣ ≥ ε. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat diese Teilfolge einen Häufungspunkt. Nach Annahme ist dieser Häufungspunkt gleicha. Dies kann aber nicht sein, da für allek∣an_k−a∣ ≥εgilt. Ein Widerspruch.

Aufgabe 

Zeigen Sie, daß jede Folge(an)n∈Neine Teilfolge besitzt, die monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Lösung. Angenommen(an)n∈Nbesitzt keine monoton fallende Teilfolge. Wir müssen zeigen, daß es eine monoton wachsende Teilfolge gibt.

Zunächst beweisen wir, daß es zu jedem Index k ∈ Nein IndexN ≥ kgibt, so daß für alle n > N an > aN gilt. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt es eink ∈ N, so daß es zu jedemN ≥ k einen Indexn>Ngibt mitan≤aN. Wir definieren eine Teilfolge(ani)i∈Nwie folgt. Wir beginnen mit n^ ∶= k+. Sindn^, . . . ,nⁱ schon definiert, so wählen wirnⁱ₊ > nⁱ so, daßaⁿi+ ≤ aⁿi gilt. Dann ist (ani)i∈Nmonoton fallend. Ein Widerspruch.

Damit ist obige Behauptung bewiesen. Wir benutzen sie um die gewünschte monoton wachsende Teil- folge(ani)i∈Nzu konstruieren. Zunächst benutzen wir die Behauptung, um einN≥ zu finden, so daß aⁿ>a^Nfür allen>Ngilt. Wir nehmen diesesNalsn. Sindn, . . . ,nischon definiert, so gibt es nach der Behauptung einen IndexN≥ni+ mitan>aNfürn>N. Wir setzenni+∶=N. Nach Konstruktion giltaⁿi+>aⁿi. Also ist die Teilfolge streng monoton wachsend.

Hausaufgaben

Aufgabe 

Sei(an)n∈Neine Folge. Zeigen Sie, daßa∈Rgenau dann ein Häufungspunkt von(an)n∈Nist, wenn gilt

∀ε>∀n∃m>n[∣am−a∣<ε].

Lösung. (⇒)Angenommen,aist ein Häufungspunkt. Dann gibt es eine Teilfolge(ank)^k_∈^N, die gegena konvergiert. Um obige Bedingung zu zeigen, betrachten wirε >  undn∈ N. Es gibt eine ZahlN, mit

∣ank −a∣< ε, für allek ≥N. Wählen wirk ≥Ngroß genug, so daß giltnk >n, so können wirm ∶=nk

setzen.

(⇐)Angenommen, obige Bedingung ist erfüllt. Wir konstruieren eine Teilfolge(aⁿk)^k∈N, welche ge- genakonvergiert. Wir starten mitn ∶=. Wenn wirn, . . . ,nkbereits definiert haben, so wählen wir nk+wie folgt. Nach Annahme gibt es einm>nkmit∣am−a∣</(k+). Wir setzennk+∶=m.

Wir müssen noch zeigen, daß die so konstruierte Teilfolge(aⁿk)^k∈Ngegenakonvergiert. Sei dazuε>.

Wir wählenk∈N, so daßε>/(k+). Dann ist∣aⁿi−a∣</(k+)<ε, für allei>k.

Aufgabe 

Zeigen Sie die Ungleichung

√ab≤ 

(a+b), füra,b≥ ,

wobei Gleichheit nur füra=bgilt. (Hinweis.Betrachten Siex∶=√^a ab.)

Lösung. Füra= oderb= ist die Aussage trivial. Wir können alsoa,b> annehmen.

Für jedesx> gilt

≤(x−)^=x^−x+ ,

wobei Gleichheit nur fürx= gilt. Hieraus folgtx^+≥x, also x+ 

x ≥ ,

mit Gleichheit nur fürx=. Fürx∶=√^a

ab folgt somit

≤ a

√ab +

√ab a = a

√ab + b

√ab . Hieraus erhalten wir wie gewünscht

√ab≤ 

(a+b).

Die Gleichheit gilt nur fürx= √^a

ab =, d. h. füra=b.