Analysis I für M, LaG/M, Ph 5.Tutorium

Analysis I für M, LaG/M, Ph 5.Tutorium

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Haller-Dintelmann 14.05.2010

David Bücher

Christian Brandenburg

Tutorium

Aufgabe T1

Es sei(a_n)n∈Neine Folge inR. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) (an)_n∈Nhat genau einen Häufungspunkt=⇒(an)_n∈Nist beschränkt und konvergent.

(b) (a_n)n∈Nist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt=⇒(a_n)n∈Nist konvergent.

(c) (a_n)_n∈Nist konvergent=⇒(a_n)_n∈Nist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt.

(d) (an)_n∈Nist beschränkt=⇒(an)_n∈Nist konvergent und hat genau einen Häufungspunkt.

(e) (a_n)n∈Nist konvergent und hat genau einen Häufungspunkt=⇒(a_n)n∈Nist beschränkt.

(f) (a_n)_n∈Nist konvergent und beschränkt=⇒(a_n)_n∈Nhat genau einen Häufungspunkt.

Lösung:

(a) Die Aussage ist falsch.

Gegenbeispiel:Sei

a_n:=

¨ n, fallsn∈Ngerade,

1

n, fallsn∈Nungerade.

Dann ist0einziger Häufungspunkt von(a_n)_n∈N, die Folge ist jedoch weder beschränkt noch konvergent.

(b) Die Aussage ist wahr.

Beweis:Wir bezeichnen mitaden nach Voraussetzung einzigen Häufungspunkt von(a_n)_n∈N und zeigen, dass die Folge gegen diesen konvergiert. Nehmen wir an, dass wäre nicht der Fall. Dann gibt es ein"0 >0, so dass gilt (Negation der Konvergenz gegena):

Zu jedemN₀∈Ngibt es einn≥N₀mit|a_n−a| ≥"0. (1) Damit basteln wir folgendermaßen eine Teilfolge(a_n

k)_k∈N0von(a_n)_n∈N: Wir nehmena_n

0=a_N

0und fürk≥0setzen wira_nk+1=a<sub>`</sub>, wobei` >n_kder Index aus (??) (mitN₀=n_k+1) )ist.

Als Teilfolge von(a_n)n∈Nist die Folge(a_n

k)k∈Nsofort ebenfalls beschränkt, nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt sie also einen Häufungspunktb. Dieser ist definitiv verschieden vona, da die Teilfolge ja gerade so gewählt war, dass

|a_nk−a| ≥"₀ für allek∈N

gilt.

Nach Lemma 2.6 gibt es nun eine Teilfolge(a_n

k`)<sub>`∈N</sub>von(a_n

k)k∈N, die gegen bkonvergiert. Diese ist aber natürlich auch eine Teilfolge von(a_n)n∈N selbst, weshalb wiederum nach Lemma 2.6 auch diese Folgebals Häufungspunkt hat, was schließlich im Widerspruch zur Voraussetzung steht, dass diese Folge eben nur genau einen Häufungspunkt

hat. ƒ

1

(c) Die Aussage ist wahr

Beweis:Aus der Konvergenz folgt mit Hilfe von Satz 1.6 sofort die Beschränktheit der Folge. Weiter zeigen wir, dass jede Teilfolge von(a_n)_n∈Nebenfalls gegen den Grenzwert dieser Folge konvergiert, den wir mitabezeichnen. Sei dazu eine Teilfolge(a_n

k)_k∈Nvon(a_n)_n∈Ngegeben und sei" >0. Dann gibt es dank der Konvergenz von(a_n)_n∈Nein

N₀∈Nmit|a_n−a|< "für allen≥N₀. Weiter gilt wegen der Eigenschaften von Teilfolgenn_k≥N₀für allek≥N₀.

Also gilt

|a_nk−a|< " für allek≥N₀,

womit(an_k)k∈Ngegenakonvergiert.

Zusammengenommen hat also(an)_n∈Nwegen Lemma 2.6 nur den Häufungspunktaund damit genau einen. ƒ (d) Die Aussage ist falsch.

Gegenbeispiel:Setze a_n:= (−1)ⁿ,n∈N. Wegen|a_n|=1für allen∈Nist die Folge beschränkt, sie weist jedoch die beiden Häufungspunkte−1und1auf, ist also auch nicht konvergent.

(e) Die Aussage ist wahr.

Beweis:Folgt sofort aus Aufgabenteil c).

(f) Die Aussage ist wahr.

Beweis:Folgt sofort aus Aufgabenteil c).

Aufgabe T2 (Teilfolgen)

Zeigen Sie: Eine Folge(a_n)ist genau dann beschränkt, wenn jede ihrer Teilfolgen eine konvergente Teilfolge enthält.

Lösung: Sei(an)eine beschränkte Folge und(an_k)eine beliebige Teilfolge. Da(an)beschränkt ist, gilt dies auch für

€a_n

k

Š. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthält€ a_n

k

Šalso eine konvergente Teilfolge.

Besitze nun umgekehrt jede Teilfolge von(a_n)eine konvergente Teilfolge. Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, (a_n)sei unbeschränkt. Dann existiert aber eine Teilfolge €

a_n

k

Š derart, dass |a_n

k| > k für k = 1, 2, . . .. Offensichtlich ist jede Teilfolge von€

a_nkŠ

unbeschränkt, d.h. € a_nkŠ

enthält keine konvergente Teilfolge. Dies ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung und(an)muss somit beschränkt sein.

Aufgabe T3 (Cauchy-Kriterium)

(a) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die Folge a_n:=1+1

2+1

3+· · ·+1 n divergiert.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die Folge

b_n:=1−1 2+1

3−1

4+· · ·+(−1)ⁿ⁻¹ n konvergiert.

Lösung:

(a) Wir wählenε0=¹₂. Sei nunn₀∈Nbeliebig groß. Dann gilt für die Wahln>n₀,m=2n

a_m−a_n= 1

n+1+ 1

n+2+· · ·+ 1 2n> n

2n=1 2=ε₀ Das Cauchy-Kriterium ist fürε0=¹₂also verletzt, die Folge(a_n)somit keine Cauchy-Folge.

(b) Sei o.B.d.A.m>n, d.h.m=n+kfür eink∈N. Wir betrachten

b_n+k−b_n= (−1)ⁿ

‚ 1

n+1− 1

n+2+ 1

n+3−+· · ·+(−1)^k−1 n+k

Π.

Der geklammerte Ausdruck ist positiv, was man leicht durch umklammern in der Form 1

n+1− 1 n+2

+

1

n+3− 1 n+4

+. . .

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einsieht (der letzte Summand ⁽⁻¹⁾_n+^k−1_k bleibt nur bei ungerademkübrig und ist in dem Fall positiv). Andererseits erkennt man durch umklammern in der Form

1 n+1−

1

n+2+ 1 n+3

− 1

n+4− 1 n+5

+. . . , dass der Ausdruck<_n+1¹ ist.

Es folgt somit, dass für allek

|b_n+k−b_n|= 1

n+1− 1

n+2+ 1

n+3−+· · ·+(−1)^k−1 n+k < 1

n+1, woraus wiederum folgt, dassb_ndem Cauchy-Kriterium genügt.

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