Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Tutorium

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Tutorium

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Haller-Dintelmann 04.06.2010

David Bücher

Christian Brandenburg

Tutorium

Aufgabe T1 (Konvergenzkriterien) Es seiP∞

n=1a_neine absolut konvergente Reihe, so dassa_n6=−1für allen∈N. Zeigen Sie, dass dann auch X∞

n=1

a_n 1+a_n

absolut konvergiert.

Aufgabe T2 (Aus alt mach neu)

(a) Seienr>0und f,g:(−r,r)→RFunktionen, die sich als Potenzreihen f(x) =P_∞

n=0a_nxⁿundg(x) =P_∞

n=0b_nxⁿ mit Konvergenzradius größer r schreiben lassen. Überlegen Sie sich zwei verschiedene Möglichkeiten, wie man daraus Potenzreihen zu weiteren Funktionen bauen kann. Finden Sie jeweils Beispiele.

(b) Stellen Sie die folgenden Funktionen als Potenzreihen dar.

(i) E

‚

−x² 2

Œ

, x∈R, (ii) 1

1+x³, x∈(−1, 1).

(c)* Es seiP_∞

n=0a_nxⁿeine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius. Lässt sich 1

P∞ n=0a_nxⁿ als Potenzreihe darstellen?

Aufgabe T3 (Potenzreihen) Es seiP∞

n=0a_nxⁿeine Potenzreihe mit Konvergenzradiusr∈(0,∞). (a) Zeigen Sie, dass dann die PotenzreiheP∞

n=0 a_n

n!xⁿden Konvergenzradius∞hat.

(b) Wir setzen f(x):=P∞ n=0

a_n

n!xⁿfürx∈R. Zeigen Sie, dass dann für jedess∈(0,r)eine KonstanteM(s)>0existiert mit

|f(x)| ≤M(s)exp(|x|/s).

1