Analysis I für M, LaG/M, Ph 11.Tutorium
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 24./25.06.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Tutorium
Aufgabe T1 (Gleichmäßige Konvergenz)
Für jedesn∈Nsei fn:[0, 1]→Rgegeben durch fn(x):=n2x(1−x)n. Zeigen Sie:
(a) Die Funktionenfolge(fn)n∈Nkonvergiert auf dem Intervall[0, 1]punktweise gegen die Nullfunktion.
Hinweis: Wurzelkriterium.
(b) Die Konvergenz in (a) ist nicht gleichmäßig.
(c) Für jedesλ∈(0, 1)konvergiert(fn)gleichmäßig auf[λ, 1].
Lösung:
(a) 1.Fall:x=0. Dann gilt fn(0) =0 ∀n∈N, also lim
n→∞fn(0) =0.
2.Fall:x=1. Dann gilt fn(1) =0 ∀n∈N, also lim
n→∞fn(1) =0.
3.Fall:0<x<1: Dann ist
pn
|fn(x)|=pn
n2x(1−x)n= (pn n)2pn
x(1−x) und damit lim
n→∞
pn
|fn(x)|=12·1·(1−x) =1−x<1, also konvergiert nach dem Wurzelkriterium die Reihe
P∞ n=1
fn(x), insbesondere gilt damit lim
n→∞fn(x) =0.
(b) Setzexn=1n. Dann gilt fn(xn) =n2 1
n(1−1n)n=n·(1−1n)n Da lim
n→∞(1−1n)n=1e ist, haben wir also lim
n→∞fn(xn) =∞. Insbesondere ist
n→∞lim[ sup
x∈[0,1]|fn(x)−f(x)|] = lim
n→∞[ sup
x∈[0,1]|fn(x)|]≥ lim
n→∞fn(xn) =∞, also die Funktionenfolge nach Satz 25.1 nicht gleichmäßig konvergent.
(c) Seiλ∈(0, 1). Für allex∈[λ, 1]gilt
|fn(x)−f(x)|=|n2x(1−x)n|=n2·x·(1−x)n≤n2·1·(1−λ)n. Außerdem gilt wegen
pn
n2(1−λ)n= (pn
n)2·(1−λ) →(1−λ)<1 wieder lim
n→∞n2(1−λ)n=0wie in (a).
Damit gilt:
0≤ lim
n→∞[ sup
x∈[λ,1]|fn(x)−f(x)|]≤ lim
n→∞[ sup
x∈[λ,1]
n2(1−λ)n]
= lim
n→∞n2(1−λ)n=0, also ist die Konvergenz nach Satz 25.1 gleichmäßig.
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Aufgabe T2 (Gleichmäßige Konvergenz) Zeigen Sie: Die geometrische ReiheP∞
n=0xnist auf(−1, 1)nicht gleichmäßig konvergent.
Lösung: Zu zeigen:
∃ε >0 ∀n∈N ∃x∈(−1, 1) |
n
X
k=0
xk−s(x)| ≥ε.
Seiε:=14. Wir wählenx= n+11p
2. Aus Kapitel 12 wissen wir, dassPn
k=0= 1−1−xn+1x fürx∈(−1, 1)unds(x) =1−1x. Somit folgt
n
X
k=0
xk−s(x)
=
1−xn+1 1−x − 1
1−x
=
−xn+1 1−x
= xn+1
1−x = 1
(1− n+11p
2)2≥1 2.
Aufgabe T3 (Vertauschung von Grenzübergängen) Beweisen Sie die folgende Aussage:
Sei D⊆Rund sei(fn)eine Folge stetiger Funktionen, die auf Dgleichmäßig gegen f konvergiert. Ist dann(xn)eine Folge inD, die gegenx0∈Dkonvergiert, so giltlimn→∞fn(xn) =f(x0).
Lösung:
fn(xn)−f(x0) ≤
fn(xn)−f(xn) +
f(xn)−f(x0) ≤ ε
2+ε 2.
Der erste Betrag ist ≤ ε2, da fn gleichmäßig gegen f konvergiert, der zweite Betrag ist ≤ ε2, da f stetig ist nach Satz 21.13.
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