Analysis I für M, LaG/M, Ph 7.Tutorium

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Analysis I für M, LaG/M, Ph 7.Tutorium

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Haller-Dintelmann 27./28.05.2010

David Bücher

Christian Brandenburg

Tutorium

Aufgabe T1

(a) Berechnen Sie das Cauchy-Produkt der Reihen X∞ n=1

qⁿ und X∞ n=1

(−q)ⁿ (|q|<1).

(b) Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der beiden divergenten ReihenP_∞

n=0a_nundP_∞

n=0b_nmit a₀=−1, a_n=1 (n≥1)

und

b₀=2, b_n=2ⁿ (n≥1) absolut konvergiert.

Lösung:

(a) Es gilt

c_n=

n

X

k=0

qⁿ⁻^k(−q)^k=qⁿ

n

X

k=0

(−1)^k=

(qⁿ, fallsngerade 0, fallsnungerade Damit erhalten wir

X∞ k=0

c_n= X∞ k=0

q²ⁿ. Wir haben also gezeigt, dass 1 1−q· 1

1+q = 1 1−q². (b) Für die Koeffizienten des Cauchy-Produktesc_ngiltc₀=a₀b₀=−2und fürn≥1erhalten wir

c_n=a_nb₀+ Xn−1 k=1

a_n₋_kb_k

! +a₀b_n

=2+

n−1

X

k=1

2^k

!

−2ⁿ

=2−1+2ⁿ−1

2−1 −2ⁿ=0.

Somit konvergiert das Cauchy-Produkt absolut.

Aufgabe T2

Beweisen Sie das folgende Lemma:

Für eine Folge(an)npositiver reeller Zahlen, für die die Folge ^aⁿ⁺¹_a

n beschränkt ist, gilt lim sup

n→∞

pn a_n≤lim sup

n→∞

a_n₊₁ a_n . Gehen Sie wie folgt vor:

1

(2)

(a) Zeigen Sie, dassL:=lim sup

n→∞

a_n+1

a_n existiert.

(b) Seiq>Lund seireine beliebige reelle Zahl mitL<r<q. Zeigen Sie, dass einn₀existiert, so dass für allen>n₀ gilta_n+1<r a_n.

(c) Schließen Sie, dassa_N₊_k≤ r^ka_N und r^ka_N = r^N+kC für ein geeignetesC undk=1, 2, . . .. Zeigen Sie, dass dies pna_n≤rpⁿ

Cimpliziert fürn>N.

(d) Zeigen Sie, dass einM∈Nexistiert, so dassm>Mimpliziert_q

r

m

≥C. Zeigen Sie, dass für diesemdie Beziehung r^mp

C≤qgilt.

(e) Schließen Sie, dasslim sup

n→∞

pn a_n≤qund argumentieren Sie, dass dies die Behauptung impliziert.

Leiten Sie das Quotientenkriterium als Konsequenz aus dem Wurzelkriterium und diesem Lemma her.

Lösung:

(a) Die Folgeb_n:= ^aⁿ_a⁺¹

n ist nach Voraussetzung beschränkt. Damit besitzt sie einen oberen LimesL.

(b) Seiε=r−L. Dann existiert einn₀∈N, so dassb_n<L+ε=rfür allen>n₀. Es gilt also a_n₊₁

a_n <r ⇐⇒ a_n+1<r a_n. (c) Wiederholtes anwenden von (b) liefert

a_N₊_k<r a_N₊_k₋₁<r²a_N₊_k₋₂<· · ·<r^ka_N. Sei nunC=_r^aNⁿ. Dann gilt

r^ka_N=r^k⁺^Na_N

r_N =r^k⁺^NC.

und somit

pn a_n=pⁿ

a_N+k<pⁿ

r^ka_N=pⁿ

r^k⁺^NC=pⁿ

rⁿC=rpⁿ C.

(d) Daq>rgilt ^q_r >1. Somit existiert einM, so dass_q

r

M

≥Cund somit_q

r

m

≥Cfür allem≥M. Damit gilt also

mÆ_qm r^m ≥ ^mp

C, was äquivalent ist zuq≥r^mp C.

(e) Seiε >0. Wir setzenq=L+εund wählenrbeliebig mit L<r<q. Die vorangegangenen Teilschritte liefern die Existenz natürlicher ZahlenN undM mitpⁿa_n≤rÆⁿ _a

N

r^N für allen>Nund mitr^mÆ_a

N

r^N ≤qfür allem>M.

Wir setzen nunK:=max{M,N}. Dann gilt für allek>K p^k a_k≤rÆ^k _a

N

r^N ≤q=L+ε. Es gilt also für alleε >0, dass

lim sup

n→∞

pn a_n≤L+εund deshalblim sup

n→∞

pna_n≤L=lim sup

n→∞

a_n+1 a_n . Falls eine undendliche Reihe reeller ZahlenP

nx_nmitx_n6=0die Bedingunglim sup

n→∞

|a_n+1|

|a_n| <1erfüllt, dann gilt nach obi- gem Lemma ebensolim sup

n→∞

pn

|x_n|<1. Somit erfülltP

nx_ndie Voraussetzungen für das Wurzelkriterium und konvergiert absolut.

Aufgabe T3

Finden Sie eine Folge positiver Zahlena_n, so dasslim sup

n→∞

pna_n<1≤lim sup

n→∞

a_n+₁ a_n . Lösung: Wir definieren

a_n:=

(₁

2ⁿ ngerade

1

2ⁿ⁻¹ nungerade Dann gilt

lim sup

n→∞

pna_n=lim sup

n→∞

¨1 2,

pn

2 2

«

=1 2 und

lim sup

n→∞

a_n₊₁ a_n =sup

1,1

4

=1.

2