Analysis I für M, LaG/M, Ph 12.Tutorium
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 01./02.07.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Tutorium
Aufgabe T1 (Beweise oder widerlege)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (Beweis oder Gegenbeispiel) (a) Jede Funktion ist differenzierbar.
(b) Jede stetige Funktion ist differenzierbar.
(c) Ist eine Funktion nicht stetig, so ist sie auch nicht differenzierbar.
(d) Sind f undgdifferenzierbare Funktionen aufR, dann istF(x) =max{f(x),g(x)}differenzierbar.
(e) Ist f :R →R differenzierbar und gilt f(−x) = f(x)für alle x ∈R (d.h. f ist eine gerade Funktion), dann ist f0(−x) =−f0(x)für allex∈R.
(f) Ist f :R→Rperiodisch (d.h. es gibtp>0, so dass f(x+p) =f(x)für allex∈R), dann istf beschränkt.
Aufgabe T2 (Fortsetzung der Ableitung)
SeiD⊂Roffen, f :D→Rstetig inx0∈Dund aufD\ {x0}differenzierbar. Weiter geltelimx→x0f0(x) =a. Zeigen Sie, dassf differenzierbar im Punktx0ist und f0(x0) =agilt.
Gilt auch die Aussage
xlim→x0f0(x)existiert nicht =⇒ f ist inx0nicht differenzierbar?
Aufgabe T3 (Zwischenwertsatz für Ableitungen)
Gegeben seiena,b∈Rmita<b, eine differenzierbare Funktionf :[a,b]→Rundc∈Rmitf0(a)≤c≤f0(b). Zeigen Sie, dass es einξ∈[a,b]gibt, so dassf0(ξ) =cgilt.
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