Analysis I für M, LaG/M, Ph 6.Tutorium
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 20./21.05.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Tutorium
Aufgabe T1 (Riemann II)
Wir möchten in dieser Aufgabe den Riemannschen Umordnungssatz beweisen, den Sie vielleicht schon in der OWO kennengelernt haben:
IstP∞
n=1aneine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe und istx∈Rgegeben, dann gibt es eine UmordnungP∞
n=1bnder Reihe mitP∞
n=1bn=x.
Die Idee zum Beweis des Satzes ist, so lange positive Glieder zu addieren, bis x überschritten wurde. Dann so lange negative Glieder zu addieren, bisx unterschritten wurde. Dann wieder positive . . . usw. Die so entstandene Umordnung der Reihe wird dann gegenxkonvergieren.
(a) In Aufgabe G3 (6. Übungsblatt) haben Sie gesehen, dass die Reihen P∞
n=1a+n und P∞
n=1an− divergieren, wobei a+n :=max{an, 0}und an−:=max{−an, 0}. Sei nun pl∞
l=1die Teilfolge der Glieder von an∞
n=1mitan≥0und ql∞
l=1diejenige mitan<0. Machen Sie sich klar, dassP∞
l=1plundP∞
l=1qldivergieren.
(b) Zeigen Sieliml→∞pl=0undliml→∞ql=0.
(c) Sei y∈R. Zeigen Sie: Istk0∈N, dann existiert eink∈N, sodassy+Pk
l=k0+1pl>x.
Analog: Istm0∈N, dann existiert einm∈N, sodassy+Pm
l=m0+1ql<x.
Daher lassen sich rekursiv zwei Folgen ki∞
i=1und mi∞
i=1definieren durchk1:=0,m1:=0, ki+1:=Minimum derk∈N, sodass
k2
X
l=k1+1
pl+
m2
X
l=m1+1
ql+
k3
X
l=k2+1
pl+· · ·+
mi
X
l=mi−1+1
ql+
k
X
l=ki+1
pl>x,
mi+1:=Minimum derm∈N, sodass
k2
X
l=k1+1
pl+
m2
X
l=m1+1
ql+
k3
X
l=k2+1
pl+· · ·+
ki+1
X
l=ki+1
pl+
m
X
l=mi+1
ql<x.
(d) Überlegen Sie sich, dass füri≥2
k2
X
l=k1+1
pl+
m2
X
l=m1+1
ql+
k3
X
l=k2+1
pl+· · ·+
mi
X
l=mi−1+1
ql+
ki+1
X
l=ki+1
pl≤x+pki+1
und
k2
X
l=k1+1
pl+
m2
X
l=m1+1
ql+
k3
X
l=k2+1
pl+· · ·+
ki+1
X
l=ki+1
pl+
mi+1
X
l=mi+1
ql≥x+qmi+1.
(e) Zeigen Sie: Zu" >0gibt esi0∈Nderart, dass für allek≥ki0
k2
X
l=k1+1
pl+
m2
X
l=m1+1
ql+
k3
X
l=k2+1
pl+· · ·+
mi
X
l=mi−1+1
ql+
k
X
l=ki+1
pl<x+",
1
wennki<k≤ki+1, und für allem≥mi0gilt
k2
X
l=k1+1
pl+
m2
X
l=m1+1
ql+
k3
X
l=k2+1
pl+· · ·+
ki+1
X
l=ki+1
pl+
m
X
l=mi+1
ql>x−",
fallsmi<m≤mi+1.
(f) Wir definieren eine Folge bn∞ n=1durch
bn:=
(pk, fallsn=mi+kfüri,k∈Nmitki<k≤ki+1 qm, fallsn=ki+1+mfüri,m∈Nmitmi<m≤mi+1 Dies entspricht einer Umordnung vonP∞
n=1an. Zeigen SieP∞
n=1bn=x.
Aufgabe T2 (Konvergente Reihen) (a) Es seien an∞
n=1eine Nullfolge inRundλ1,λ2,λ3∈Rmitλ1+λ2+λ3=0. Zeigen Sie X∞
n=1
(λ1an+λ2an+1+λ3an+2) =λ1a1+ (λ1+λ2)a2. (b) Wie sieht das fürλ1,λ2, . . . ,λp∈Rmitλ1+λ2+· · ·+λp=0aus?
2
