Analysis I für M, LaG/M, Ph 5.Tutorium

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Tutorium

Aufgabe T1

Es sei(a_n)n∈Neine Folge inR. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) (an)_n∈Nhat genau einen Häufungspunkt=⇒(an)_n∈Nist beschränkt und konvergent.

(b) (a_n)_n∈Nist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt=⇒(a_n)_n∈Nist konvergent.

(c) (a_n)_n∈Nist konvergent=⇒(a_n)_n∈Nist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt.

(d) (a_n)_n∈Nist beschränkt=⇒(a_n)_n∈Nist konvergent und hat genau einen Häufungspunkt.

(e) (a_n)n∈Nist konvergent und hat genau einen Häufungspunkt=⇒(a_n)n∈Nist beschränkt.

(f) (a_n)n∈Nist konvergent und beschränkt=⇒(a_n)n∈Nhat genau einen Häufungspunkt.

Aufgabe T2 (Teilfolgen)

Zeigen Sie: Eine Folge(an)ist genau dann beschränkt, wenn jede ihrer Teilfolgen eine konvergente Teilfolge enthält.

Aufgabe T3 (Cauchy-Kriterium)

(a) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die Folge

a_n:=1+1 2+1

3+· · ·+1 n

divergiert.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die Folge

b_n:=1−1 2+1

3−1

4+· · ·+(−1)ⁿ⁻¹ n konvergiert.

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