Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
Sommersemester 2010
Analysis II
Übung
Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale:
(a) ∫
xe−xdx (b) ∫
π/
cosx
√−sinxdx
Lösung. (a) Substitution mitu∶=−xergibt
∫xe−xdx= ∫ −
eudu= −
eu∣ = −
+
e. (b) Substitution mitu∶=−sinxergibt
∫π/ cosx
√−sinxdx= ∫ −
√udu= −√
u∣ =+√
=. Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale:
(a) ∫
π/
xsinxdx (b) ∫
π/
xcosxdx (c) ∫xexdx Lösung.
(a) ∫
π/
xsinxdx= −xcosx∣π/+ ∫π/cosxdx
=−+sinx∣π/=−, (b) ∫π/xcosxdx=xsinx∣π/− ∫π/xsinxdx
= π
−−⋅,
(c) ∫xexdx=xex∣−∫xexdx
=e−−xex∣+∫xexdx
=e−e−+xex∣−∫exdx
=−e+e−−ex∣=−e+.
Hausaufgaben
Aufgabe
Seienm,n∈N. Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration, daß
∫πsin(nx)sin(mx)dx=⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
π fürn=m,
fürn≠m. Lösung. Fürn=merhalten wir mit partieller Integration
∫πsin(nx)dx=−
nsin(nx)cos(nx)∣π +∫πcos(nx)dx
=+∫π(−sin(nx))dx
=x∣π −∫πsin(nx)dx
=π−∫πsin(nx)dx. Hieraus ergibt sich
∫
π
sin(nx)dx=π.
Angenommen,n≠m. Dann erhalten wir mit zweimaliger partieller Integration
∫
π
sin(nx)sin(mx)dx=−
ncos(nx)sin(mx)∣π +m n ∫
π
cos(nx)cos(mx)dx
=+ m
nsin(xn)cos(mx)∣π +m
n ∫πsin(nx)sin(mx)dx
= m
n ∫πsin(nx)sin(mx)dx. Wegenmn ≠ folgt aus dieser Gleichung∫πsin(nx)sin(mx)dx=.
Aufgabe
Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
∫a∞f(x)dx
genau dann existiert, wenn es zu jedemε> eine Stellez>agibt, so dass (∗) ∣∫s t f(x)dx∣ <ε für allez<s<t.
Lösung. Nehmen wir zuerst an, dass c∶= ∫a∞f(x)dx= lim
z→∞∫az f(x)dx existiert. Seiε>. Dann gibt es einz>amit
∣∫az f(x)dx−c∣ < ε
für allez≥z. Fürz<s<tfolgt
∣∫s t f(x)dx∣ = ∣∫at f(x)dx−∫as(x)dx∣ ≤ ∣∫atf(x)dx−c∣+∣∫as f(x)dx−c∣ < ε
+ε
=ε. Umgekehrt gelte(∗). Um zu zeigen, dass limz→∞∫az f(x)dxexistiert, betrachten wir eine Folge(zn)n∈N von Zahlen größeraund setzen
cn∶= ∫azn f(x)dx.
Nach(∗)ist(cn)n∈Neine Cauchy-Folge und somit existiert limn→∞cn=limz→∞∫azf(x)dx.
