Hausaufgaben Übungʁ AnalysisII

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid

Sommersemester 2010

Analysis II

Übung 

Aufgabe 

SeiU⊆Rⁿoffen und konvex (d. h.x,y∈Uimpliziertx+t(y−x) ∈Ufür allet∈ [, ]). Sei f ∶U→R^m stetig differenzierbar mit

∥D f(x)∥^E≤K für allex∈U.

Zeigen Sie, daßf Lipschitz mit Lipschitz-KonstantenKist.

Aufgabe 

SeiU⊆Rⁿoffen und f =(f, . . . ,f_m) ∶U→R^mundγ=(γ, . . . ,γ_n) ∶ [, ]→Ustetig differenzierbare Funktionen mitx∶=γ()undy∶=γ(). Zeigen Sie, daß

f(y)= f(x) +∫_^D f(γ(t))Dγ(t)dt Aufgabe 

SeiU⊆Rⁿoffen und f ∶U→Rⁿstetig differenzierbar. Zeigen Sie, daß die Funktiong∶U→Rmit g(x)=sin(∥f(x)∥^E)

ebenfalls stetig differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Hausaufgaben

Aufgabe 

Sei f ∶R^→Rdie Funktion mit f(x,y)=

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x^ysin(_x^y) fürx≠ ,

 fürx= ..

(a) Zeigen Sie, daß f in jedem Punkt partiell differenzierbar ist und berechnen Sie die partiellen Ab- leitungen.

(b) Zeigen Sie, daßDf in keinem Punkt der Form(,y)mity≠ stetig ist.

Hinweis.Betrachten Sie die Punkte(x_n,y_n)=(y/(nπ),y).

(c) Ist f differenzierbar in(,y)mity∈R? Aufgabe 

SeiX⊆R^koffen undY⊆Rⁿoffen und beschränkt und sei f ∶X×Y →Reine stetige Funktion, die auf X×Ydifferenzierbar ist. Seiµ∶X→Rdie Funktion mitµ(x) ∶=min_y∈Y f(x,y). Angenommen, es gibt eine stetig differenzierbare Funktionξ∶X→Y mit

f(x,ξ(x))=µ(x) für allex∈X. Berechnen Sie das Differential vonµ.