Hausaufgaben Übung? AnalysisII

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid

Sommersemester 2010

Analysis II

Übung 

Aufgabe 

SeiKgleichRoderCund sei∥ ⋅ ∥eine Norm aufKⁿ. Zeigen Sie, daß die Funktion f ∶Kⁿ→R∶x↦∥x∥

stetig ist, wenn wirKⁿmit der Metrik d(x,y) ∶=∥y−x∥^max

ausstatten.

Lösung. Seie_i=(, . . . , , , , . . . , )deri-te Standardbasisvektor. Wir setzenc∶=∥e^∥+⋅ ⋅ ⋅+∥en∥. Dann istc≥∥e∥> und fürx=(x, . . . ,x_n)undy=(y, . . . ,y_n)folgt

∣∥x∥ − ∥y∥∣≤∥x−y∥=∥(x−y)e+ ⋅ ⋅ ⋅ + (x_n−y_n)e_n∥

≤∣x^−y∣ ⋅ ∥e^∥ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣xn−y_n∣ ⋅ ∥en∥

≤∥x−y∥^max⋅ (∥e^∥ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∥en∥)

=c∥x−y∥^max.

Also ist f Lipschitz mit Lipschitz-Konstantec. Hieraus folgt die Stetigkeit von f. Aufgabe 

Zeigen Sie, daß jede lineare Abbildungf ∶R^m→Rⁿstetig ist, wenn wirR^mundRⁿmit der Maximums- Norm∥ ⋅ ∥^maxausstatten.

Lösung. SeiA=(ai j)die Matrix zu f. Dann gilt f(x^, . . . ,xm)=(∑^mj=a^jxj, . . . ,∑^mj=an jxj).

Seic∶=max{ ∣ai j∣ ∣ i=, . . . ,n, j=, . . . ,m}. Fürx=(x^, . . . ,xm)undy=(y^, . . . ,ym)gilt

∥f(x) − f(y)∥^max=∥(∑^mj=aj(xj−y_j), . . . ,∑^mj=a_{n j}(xj−y_j))∥_max

=max{ ∣∑^mj=ai j(xj−yj)∣ ∣i=, . . . ,n}

≤max{ ∑^mj=∣ai j∣ ⋅ ∣xj−y_j∣ ∣i=, . . . ,n}

≤m⋅max{ ∣ai j∣ ∣i=, . . . ,n, j=, . . . ,m} ⋅max{ ∣xj−y_j∣ ∣ j=, . . . ,m}

≤mc⋅ ∥x−y∥^max.

Also ist f Lipschitz mit Lipschitz-Konstantemc. Hieraus folgt die Stetigkeit von f.

Hausaufgaben

Aufgabe 

SeiKgleichRoderC. Zeigen Sie, daß jede Norm∥ ⋅ ∥aufKⁿäquivalent zur euklidischen Norm∥ ⋅ ∥^Eist.

Lösung. Nach Aufgabe  ist die Funktion f ∶ Kⁿ → R ∶ x ↦ ∥x∥stetig, wenn wirKⁿmit der durch

∥⋅∥^maxinduzierten Metrik ausstatten. Da die EinheitssphäreS∶={x∈Kⁿ∣ ∥x∥^E=}abgeschlossen und beschränkt und somit kompakt ist, ist auch ihr Bild f(S) ⊆Rkompakt. Somit existierena ∶=minf(S) undb ∶= maxf(S). Es gilt  ≤ a ≤b. Wir betrachten einx ∈ Smit f(x) = a. Wärea =, so folgt aus

∥x∥=, daßx=∉S. Ein Widerspruch.

Somit ista>. Fürx∈Kⁿmit ≠xundz∶=(∥x∥^E)^−x∈Sfolgt a≤∥z∥=(∥x∥^E)^−∥x∥≤b.

Also gilta∥x∥^E≤∥x∥≤b∥x∥^E. Diese Ungleichungen gelten auch fürx=.

Aufgabe 

Berechnen Sie die Bogenlänge folgender Kurven f ∶I→R^. (a) f(t) ∶=(t^,^_t^)fürI=[a,b]mit <a<b.

(b) f(t)∶=((+cost)cost,(+cost)sint)fürI=[, π].

Lösung. (a) Für die Ableitungf^′(t)=(t^, t)gilt∥f^′(t)∥^E=t^+t^. Somit folgt L=∫_a^b√

t^+t^dt

=∫ ^b



a^ √

u^+u⋅ 

√ udu

=∫ ^b



a^





√u+ du

=(u+)^∣^b_a^

=(b^+)^ −(a^+)^.

(b) Wir setzenr(t)=+cost. Dann gilt

f^′(t)=(r^′(t)cost−r(t)sint, r^′(t)sint+r(t)cost)

und ∥f^′(t)∥^E=∥(r^′(t)cost−r(t)sint,r^′(t)sint+r(t)cost)∥^E=r^′(t)^+r(t)^. Wegen

r^′(t)^+r(t)^=+ cost+cos^t+sin^t=(+cost) folgt

L=∫

π



√r(t)^+r^′(t)^dt

=√

∫

π



√+costdt

=√

∫_^π√

+costdt+√

∫

π π

√+costdt

=√

∫_^π√

+costdt+√

∫_^π√

+cossds (mits=π−t)

=√

∫_^π√

+costdt

=√

∫



−

√+u

√−u^du (mitu=cost)

=√

∫_−^ 

√−udu

=−√

√

−u∣^

−

= .