Hausaufgaben Übung? AnalysisII

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid

Sommersemester 2010

Analysis II

Übung 

Aufgabe 

Sei(X,d)ein metrischer Raum,A⊆Xabgeschlossen undB⊆Xoffen. Zeigen Sie, daßA∖Babgeschlos- sen ist.

Aufgabe 

SeiXein metrischer Raum undK, . . . ,Kn⊆Xkompakte Teilräume vonX. Zeigen Sie, daßK∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪Kn

kompakt ist.

Aufgabe 

SeiXein metrischer Raum undY ⊆X. Zeigen Sie, daß (a) Y∖∂Y offen,

(b) Y∪∂Y abgeschlossen und (c) ∂Y abgeschlossen ist.

(Dies ist § Satz .)

Hausaufgaben

Aufgabe 

Sei(X,d)ein metrischer Raum undf ∶X→Reine Funktion, die im Punktex∈Xstetig ist.

(i) Zeigen Sie, daß es eine UmgebungUvonxgibt, so daß f(U) ⊆Rbeschränkt ist.

(ii) Angenommen, f(x) >. Zeigen Sie, daß es eine UmgebungUvonx^gibt, so daß f(x) >  für allex∈Ugilt.

Aufgabe 

SeiXein metrischer Raum undA,B⊆Xnicht-leere abgeschlossene Mengen mitA∩B=∅. Zeigen Sie, daß es offene MengenC,D⊆Xgibt mitA⊆C,B⊆DundC∩D=∅.

Hinweis.Machen Sie sich eine Skizze. Beachten Sie, daßAundB nicht beschränkt sein müssen. Ein Beispiel inX=R^wäre etwa

A∶={ (x,y) ∶y=} und B∶={ (x,y) ∶x y= ,x>}.

A B